Процессы, происходящие с грузиком на пружине и в идеальном колебательном контуре, описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями:

Грузик на пружине x¨(t)+ω2x(t)=0\ddot{x}(t)+\omega^{2}x(t)=0ω2=km\omega^{2}=\frac{k}{m}

Колебательный контур q¨(t)+ω2q(t)=0\ddot{q}(t)+\omega^{2}q(t)=0ω2=1LC\omega^{2}=\frac{1}{LC}

Разумеется, одинаковые дифференциальные уравнения имеют одинаковые решения:

x(t)=xmaxsin(ωt+φ0);x(t)=x_{max}\sin(\omega t+\varphi_{0});

q(t)=qmaxsin(ωt+φ0).q(t)=q_{max}\sin(\omega t+\varphi_{0}).

Кроме того, имеется и аналогия в параметрах, описывающих системы:

Скорость v=x˙(t)v=\dot{x}(t); сила тока I=q˙(t)I=\dot{q}(t)

Всё это позволяет построить полную аналогию между колебаниями, имеющими совершенно различную природу.

Приведем список соответствующих параметров:

Грузик на пружинеКолебательный контур
жесткость пружины kkвеличина, обратная ёмкости конденсатора, 1C\frac{1}{C}
масса грузика mmиндуктивность катушки LL
смещение от положения равновесия x(t)x(t)заряд конденсатора q(t)q(t)
скорость грузика v(t)v(t)сила тока I(t)I(t)
потенциальная энергия kx2(t)2\frac{kx^{2}(t)}{2}энергия конденсатора q2(t)2C\frac{q^{2}(t)}{2C}
кинетическая энергия mv2(t)2\frac{mv^{2}(t)}{2}энергия магнитного поля катушки LI2(t)2\frac{LI^{2}(t)}{2}

Эта аналогия позволяет при необходимости заменять исследования одной системы исследованиями аналогичной системы. Такая необходимость может быть вызвана, например, трудностью (высокой стоимостью) исследования исходной системы. Например, если интересуют колебания многотонной массы, натурные испытания будут весьма затратными. Вместо экспериментов с механической системой можно будет провести испытания с электрической, что окажется значительно проще.

  • Понравилось?