Арифметическая прогрессия

Что нужно знать

• Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

• Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
• Как найти любой член арифметической прогрессии
• Как найти разность арифметической прогрессии
• Чему равна сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Пусть каждому натуральному числу $n$ поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число $a_n$ (при этом разным натуральным числам $n$ могут соответствовать и одинаковые действительные числа). Тогда можно сказать, что задана числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, ....$ Другое обозначение: ${\{a_n\}_{n}^{\infty }}_{=1}$.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность вида $a_1, a_1+d, a_1+2d, ..., a_1+nd, ...$,
то есть это последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа $d$ (разности арифметической прогрессии): $a_n=a_{n-1}+d$.

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией, или просто арифметической прогрессией.

Для любой пары идущих подряд членов последовательности $a_k$ и $a_{k+1}$ их разность равна одному и тому же числу: $a_{k+1}-a_k=d$.

Например, последовательность $4$, $6$, $8$, $10$, $12$ является арифметической прогрессией с разностью $2$. Это возрастающая арифметическая прогрессия.

Последовательность $3$, $2$, $1$, $0$, $-1$ является арифметической прогрессией с разностью $-1$. Это убывающая арифметическая прогрессия.

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, $a_2=a_1+d$, $a_3=a_2+d=a_1+2d$, $a_4=a_3+d=a_1+3d$ и т.д. $k$-й член мы можем найти по формуле:

$a_k=a_1+(k-1)d.$

Например, если последовательность содержит $2013$ членов или больше, то $a_{2013}=a_1+2012\cdot d$.

Если мы знаем не $1$-й, а, скажем, $10$-й член прогрессии, то мы также можем найти любой другой член, если нам известна разность. Например, если мы хотим найти $18$-й член, то мы можем воспользоваться тем, что $a_{18}=a_{10}+8d$.

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

$a_n=a_k+(n-k)d.$

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы $a_n=a_k+(n-k)d$ следует такая формула:

$d=\frac{a_n-a_k}{n-k}.$

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Рассмотрим некоторую арифметическую прогрессию, например: $a_1=2, a_2=5, a_3=8, a_4=11, ...$. Для любого $n\ge 2$, $(n+1)$-й член прогрессии больше $n$-го на $d=3$, а $n$-й член больше $(n-1)$-го тоже на $d=3$. Поэтому $n$-й член равен среднему арифметическому $(n-1)$-го и $(n+1)$-го членов.

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Последовательность $a_1, a_2, a_3, ...$ является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1} }{2}$ для любого $n\ge 2$.

Выполняется и более общее свойство: $a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k} }{2}$, где $n\gt k$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = a_1+a_2+...+a_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.$

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Первый и последний член дают в сумме $a_1+a_n$. Второй и предпоследний — тоже $a_1+a_n$, поскольку $a_2+a_{n-1}=a_1+d+a_n-d=a_1+a_n$. Точно так же третий член прогрессии и третий с конца член прогрессии дают $a_1+a_n$ и т.д.
Возможны два случая:
1) Если в прогрессии четное число членов, то все они разбиваются на пары $(a_k,a_{n-k})$, $k=1,...,\frac{n}{2}$, где сумма членов в каждой паре равна $a_1+a_n$. Поскольку пар всего $\frac{n}{2}$, то сумма всех чисел прогрессии равна $(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}$.
2) Если в прогрессии нечетное число членов, то все, кроме одного (центрального) члена, разбиваются на пары $(a_k,a_{n-k})$, $k=1,...,\frac{n-1}{2}$, с суммой, равной $a_1+a_n$. Всего получается $\frac{n-1}{2}$ таких пар. Центральный член (член номер $\frac{n+1}{2}$) равен $\frac{a_1+a_n}{2}$ (среднее для первого и последнего члена прогрессии). Тогда сумма арифметической прогрессии равна $a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n-1}{2}+\frac{a_1+a_n}{2}=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}$.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

$S_n = (a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2} .$

А что если мы знаем только первый член прогрессии и разность прогрессии? Тогда мы можем выразить $a_n$ через $a_1$ и $d$ и подставить в формулу для суммы:
$S_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}=(a_1+a_1+(n-1)d)\cdot \frac{n}{2}=\frac{na_1}{2}+d\cdot \frac{n(n-1)}{2} .$

Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых $n$ натуральных чисел: $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от $1$ до $100$. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: $1+100=101$, $2+99=101$ и т.д., и мгновенно получил результат $50\cdot 101=5050$.

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической, а не в геометрической прогрессии...

О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.

Заключение

Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:

$a_k=a_1+(k-1)d;$$d=\frac{a_n-a_k}{n-k};$$S_n = a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.$