Что нужно знать

  • Простейшие алгебраические уравнения

Что вы узнаете

  • Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
  • Как найти любой член арифметической прогрессии
  • Как найти разность арифметической прогрессии
  • Чему равна сумма первых nn членов арифметической прогрессии

В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.

Пусть каждому натуральному числу nn поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число ana_n (при этом разным натуральным числам nn могут соответствовать и одинаковые действительные числа). Тогда можно сказать, что задана числовая последовательность a1,a2,a3,....a_1, a_2, a_3, .... Другое обозначение: {an}n=1{\{a_n\}_{n}^{\infty }}_{=1}.

Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.

Начнем с арифметической прогрессии.

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность вида a1,a1+d,a1+2d,...,a1+nd,...a_1, a_1+d, a_1+2d, ..., a_1+nd, ...,
то есть это последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа dd (разности арифметической прогрессии): an=an1+da_n=a_{n-1}+d.

Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией, или просто арифметической прогрессией.

Для любой пары идущих подряд членов последовательности aka_k и ak+1a_{k+1} их разность равна одному и тому же числу: ak+1ak=da_{k+1}-a_k=d.

Например, последовательность 44, 66, 88, 1010, 1212 является арифметической прогрессией с разностью 22. Это возрастающая арифметическая прогрессия.

Последовательность 33, 22, 11, 00, 1-1 является арифметической прогрессией с разностью 1-1. Это убывающая арифметическая прогрессия.

Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: 11, 1-1, 22, 2-2, 33, 3-3?

Нет

Да

Как найти произвольный член прогрессии?

Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, a2=a1+da_2=a_1+d, a3=a2+d=a1+2da_3=a_2+d=a_1+2d, a4=a3+d=a1+3da_4=a_3+d=a_1+3d и т.д. kk-й член мы можем найти по формуле:

ak=a1+(k1)d.a_k=a_1+(k-1)d.

Например, если последовательность содержит 20132013 членов или больше, то a2013=a1+2012da_{2013}=a_1+2012\cdot d.

Найдите 10011001-й член арифметической прогрессии 77, 1717, 2727, .......

Если мы знаем не 11-й, а, скажем, 1010-й член прогрессии, то мы также можем найти любой другой член, если нам известна разность. Например, если мы хотим найти 1818-й член, то мы можем воспользоваться тем, что a18=a10+8da_{18}=a_{10}+8d.

Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:

an=ak+(nk)d.a_n=a_k+(n-k)d.

Найдите 22-й член прогрессии, если известно, что 1212-й член равен 2525, а разность равна 22.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы an=ak+(nk)da_n=a_k+(n-k)d следует такая формула:

d=anaknk.d=\frac{a_n-a_k}{n-k}.

А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):

Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На 88-й день она выучила 1515 заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?

Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Рассмотрим некоторую арифметическую прогрессию, например: a1=2,a2=5,a3=8,a4=11,...a_1=2, a_2=5, a_3=8, a_4=11, .... Для любого n2n\ge 2, (n+1)(n+1)-й член прогрессии больше nn-го на d=3d=3, а nn-й член больше (n1)(n-1)-го тоже на d=3d=3. Поэтому nn-й член равен среднему арифметическому (n1)(n-1)-го и (n+1)(n+1)-го членов.

Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:

Последовательность a1,a2,a3,...a_1, a_2, a_3, ... является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда an=an1+an+12a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1} }{2} для любого n2n\ge 2.

Выполняется и более общее свойство: an=ank+an+k2a_n=\frac{a_{n-k}+a_{n+k} }{2}, где n>kn\gt k.

11-й член арифметической прогрессии равен 18-18, а 101101-й равен 218218. Чему равен 5151-й член?

Сумма первых nn членов арифметической прогрессии

Еще одна формула, которая часто бывает полезна:

Сумма первых nn членов арифметической прогрессии: Sn=a1+a2+...+an=a1+an2n.S_n = a_1+a_2+...+a_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n.

Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.

Первый и последний член дают в сумме a1+ana_1+a_n. Второй и предпоследний — тоже a1+ana_1+a_n, поскольку a2+an1=a1+d+and=a1+ana_2+a_{n-1}=a_1+d+a_n-d=a_1+a_n. Точно так же третий член прогрессии и третий с конца член прогрессии дают a1+ana_1+a_n и т.д.
Возможны два случая:
1) Если в прогрессии четное число членов, то все они разбиваются на пары (ak,ank)(a_k,a_{n-k}), k=1,...,n2k=1,...,\frac{n}{2}, где сумма членов в каждой паре равна a1+ana_1+a_n. Поскольку пар всего n2\frac{n}{2}, то сумма всех чисел прогрессии равна (a1+an)n2(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}.
2) Если в прогрессии нечетное число членов, то все, кроме одного (центрального) члена, разбиваются на пары (ak,ank)(a_k,a_{n-k}), k=1,...,n12k=1,...,\frac{n-1}{2}, с суммой, равной a1+ana_1+a_n. Всего получается n12\frac{n-1}{2} таких пар. Центральный член (член номер n+12\frac{n+1}{2}) равен a1+an2\frac{a_1+a_n}{2} (среднее для первого и последнего члена прогрессии). Тогда сумма арифметической прогрессии равна a1+a2+...+an=(a1+an)n12+a1+an2=(a1+an)n2a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n-1}{2}+\frac{a_1+a_n}{2}=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}.

Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:

Sn=(a1+an)n2.S_n = (a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2} .

А что если мы знаем только первый член прогрессии и разность прогрессии? Тогда мы можем выразить ana_n через a1a_1 и dd и подставить в формулу для суммы:
Sn=(a1+an)n2=(a1+a1+(n1)d)n2=na12+dn(n1)2.S_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}=(a_1+a_1+(n-1)d)\cdot \frac{n}{2}=\frac{na_1}{2}+d\cdot \frac{n(n-1)}{2} .

Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых nn натуральных чисел: 1+2+...+n=n(n+1)21+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}.

Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от 11 до 100100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=1011+100=101, 2+99=1012+99=101 и т.д., и мгновенно получил результат 50101=505050\cdot 101=5050.

Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.

При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых nn членов арифметической прогрессии:

Студент Петров должен решить 640640 задач, чтобы хорошо подготовиться к экзамену. Петров относится к тому типу людей, которые все делают в последний момент, поэтому его беспокойство возрастает по мере приближения даты экзамена. Растущее беспокойство заставляет его решать каждый следующий день на определенное число задач больше, чем он решил в предыдущий день. Известно, что он в первый день решил всего 1010 задач, но все-таки успел подготовиться к экзамену.

Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.

Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической, а не в геометрической прогрессии...

О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.

Заключение

Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии:

ak=a1+(k1)d;a_k=a_1+(k-1)d;d=anaknk;d=\frac{a_n-a_k}{n-k};Sn=a1+a2+...+an=(a1+an)n2=2a1+(n1)d2.S_n = a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}.

  • Понравилось?