Арифметическая прогрессия
Что нужно знать
- Простейшие алгебраические уравнения
Что вы узнаете
- Что такое арифметическая прогрессия и для чего она нужна
- Как найти любой член арифметической прогрессии
- Как найти разность арифметической прогрессии
- Чему равна сумма первых членов арифметической прогрессии
В жизни мы часто сталкиваемся с числовыми последовательностями. Например, средняя температура воздуха для каждого дня в сентябре или расходы на транспорт в каждом месяце года.
Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое единственное действительное число (при этом разным натуральным числам могут соответствовать и одинаковые действительные числа). Тогда можно сказать, что задана числовая последовательность Другое обозначение: .
Последовательности, о которых пойдет речь в данной главе, обладают интересными свойствами: очередной член последовательности можно вычислить, зная предыдущий член, по определенной формуле. Если использовать свойства этих последовательностей, то многие задачи математики, физики и экономики значительно упрощаются.
Начнем с арифметической прогрессии.
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность вида ,
то есть это последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (разности арифметической прогрессии): .
Конечный отрезок такой последовательности называется конечной арифметической прогрессией, или просто арифметической прогрессией.
Для любой пары идущих подряд членов последовательности и их разность равна одному и тому же числу: .
Например, последовательность , , , , является арифметической прогрессией с разностью . Это возрастающая арифметическая прогрессия.
Последовательность , , , , является арифметической прогрессией с разностью . Это убывающая арифметическая прогрессия.
Является ли следующая последовательность арифметической прогрессией: , , , , , ?
Нет
Да
Как найти произвольный член прогрессии?
Если нам известна разность и первый член арифметической прогрессии, то мы легко можем найти любой другой член этой прогрессии. В самом деле, , , и т.д. -й член мы можем найти по формуле:
Например, если последовательность содержит членов или больше, то .
Найдите -й член арифметической прогрессии , , , .
Если мы знаем не -й, а, скажем, -й член прогрессии, то мы также можем найти любой другой член, если нам известна разность. Например, если мы хотим найти -й член, то мы можем воспользоваться тем, что .
Следующая формула связывает два произвольных члена прогрессии:
Найдите -й член прогрессии, если известно, что -й член равен , а разность равна .
Как найти разность арифметической прогрессии?
Используя последнюю формулу, мы легко можем найти разность прогрессии, зная любые два ее члена. В самом деле, из формулы следует такая формула:
А теперь решите простую задачу на прогрессии (для этого сначала запишите условие задачи в виде формулы арифметической прогрессии):
Гермиона в первый день учебы в Хогвартсе выучила одно заклинание и каждый день выучивает на некоторое число заклинаний больше, чем в предыдущий день. На -й день она выучила заклинаний. На сколько заклинаний больше она выучивает каждый день?
Запомните следующее простое правило:
Если в задаче происходит увеличение определенной величины на одно и то же число, то речь идет об арифметической прогрессии.
Характеристическое свойство арифметической прогрессии
Рассмотрим некоторую арифметическую прогрессию, например: . Для любого , -й член прогрессии больше -го на , а -й член больше -го тоже на . Поэтому -й член равен среднему арифметическому -го и -го членов.
Несложно проверить, что выполняется следующее утверждение:
Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда для любого .
Выполняется и более общее свойство: , где .
-й член арифметической прогрессии равен , а -й равен . Чему равен -й член?
Сумма первых членов арифметической прогрессии
Еще одна формула, которая часто бывает полезна:
Сумма первых членов арифметической прогрессии:
Если вы разберетесь, как выводится эта формула, то запомнить ее будет гораздо легче.
Первый и последний член дают в сумме . Второй и предпоследний — тоже , поскольку . Точно так же третий член прогрессии и третий с конца член прогрессии дают и т.д.
Возможны два случая:
1) Если в прогрессии четное число членов, то все они разбиваются на пары , , где сумма членов в каждой паре равна . Поскольку пар всего , то сумма всех чисел прогрессии равна .
2) Если в прогрессии нечетное число членов, то все, кроме одного (центрального) члена, разбиваются на пары , , с суммой, равной . Всего получается таких пар. Центральный член (член номер ) равен (среднее для первого и последнего члена прогрессии). Тогда сумма арифметической прогрессии равна .
Таким образом, зная только первый и последний члены прогрессии, мы можем найти ее сумму по формуле:
А что если мы знаем только первый член прогрессии и разность прогрессии? Тогда мы можем выразить через и и подставить в формулу для суммы:
Важным частным случаем формулы суммы арифметической прогрессии является формула суммы первых натуральных чисел: .
Карл Фридрих Гаусс, ставший впоследствии великим математиком, самостоятельно вывел эту формулу на уроке арифметики в школе. Желая занять детей на долгое время, учитель предложил им сосчитать сумму чисел от до . Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: , и т.д., и мгновенно получил результат .
Заметим, что Гаусс использовал при подсчете тот же самый метод, что мы использовали при доказательстве формулы для суммы арифметической прогрессии.
При решении следующей задачи используйте формулу суммы первых членов арифметической прогрессии:
Студент Петров должен решить задач, чтобы хорошо подготовиться к экзамену. Петров относится к тому типу людей, которые все делают в последний момент, поэтому его беспокойство возрастает по мере приближения даты экзамена. Растущее беспокойство заставляет его решать каждый следующий день на определенное число задач больше, чем он решил в предыдущий день. Известно, что он в первый день решил всего задач, но все-таки успел подготовиться к экзамену.
Определите, сколько задач Петров решил в четвертый день, если вся подготовка заняла 16 дней.
Конечно, способность Петрова концентрироваться в решающий момент поражает! Хорошо еще, что количество задач, которые он решал, росло в арифметической, а не в геометрической прогрессии...
О геометрической прогрессии читайте в следующей статье.
Заключение
Приведем еще раз формулы, которые позволяют решить практически любую задачу на арифметические прогрессии: