Вектор — это направленный отрезок.

  • Векторы, имеющие одинаковую длину и направление, равны;
  • Вектор определяется своими координатами: v(x,y)\vec{v}(x,y) (в плоскости) и v(x,y,z)\vec{v}(x,y,z) (в пространстве), то есть векторы имеющие одинаковые координаты равны друг другу;
  • Если концы вектора имеют координаты: A(x1,y1)A(x_1,y_1) и B(x2,y2)B(x_2,y_2), то координаты вектора AB(x2x1,y2y1)\vec{AB}(x_2-x_1,y_2-y_1);
  • Длина вектора v(x,y)\vec{v}(x,y) равна v=x2+y2|\vec{v}|=\sqrt{x^2+y^2};
  • Векторы можно складывать, при этом соответствующие координаты складываются, и умножать на число (скаляр), при этом все координаты умножаются на это число;
  • Любой вектор можно разложить по координатным векторам: v(x,y)=xi+yj\vec{v}(x,y)=x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}.

Если на плоскости отмечены точки A(1,1)A(1,1) и B(3,4)B(3,4), а также точки C(4,0)C(4,0) и D(6,3)D(6,3) то
AB(2,3)=CD(2,3)=2i+3j\vec{AB}(2,3)=\vec{CD}(2,3)=2\cdot \vec{i}+3\cdot \vec{j}.

Равенство векторов

Векторы равны, если они имеют одинаковую длину и направление.

Равные векторы можно совместить параллельным переносом.

Векторы равны тогда и только тогда, когда их координаты равны.

Если на плоскости отмечены точки A(1,1)A(1,1) и B(3,4)B(3,4), а также точки C(4,0)C(4,0) и D(6,3)D(6,3) то
AB(2,3)=CD(2,3)=2i+3j\vec{AB}(2,3)=\vec{CD}(2,3)=2\cdot \vec{i}+3\cdot \vec{j}.

Действия над векторами

Основные действия над векторами:

  • Сумма векторов u1(x1,y1)\vec{u_1}(x_1,y_1) и u2(x2,y2)\vec{u_2}(x_2,y_2) — это векторv(x1+x2,y1+y2)\vec{v}(x_1+x_2,y_1+y_2). Чтобы построить вектор v\vec{v}, нужно построить вектор u2\vec{u_2} с началом в конце вектора u1\vec{u_1} и соединить начало вектора u1\vec{u_1} с концом вектора u2\vec{u_2}.
  • Умножение на число kk дает вектор ku(x,y)=v(kx,ky)k\cdot \vec{u}(x,y)=\vec{v}(kx,ky). При положительном kk этот вектор имеет то же направление, что и вектор u\vec{u}, а при отрицательном — противоположное. При этом длина его в k|k| раз больше;
  • Скалярное произведение векторов u(x1,y1)\vec{u}(x_1,y_1) и v(x2,y2)\vec{v}(x_2,y_2) — это число (u,v)=x1x2+y1y2=uucos(u,v)(\vec{u}\vec{,v})=x_1\cdot x_2 +y_1\cdot y_2=|\vec{u}|\cdot |\vec{u}|\cdot \cos \angle (\vec{u}\vec{,v}). Скалярное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда вектора перпендикулярны.

Сумма векторов u1(1,3)\vec{u_1}(1,3) и u2(2,0)\vec{u_2}(2,0) равна u1+u2=v(3,3)\vec{u_1}+\vec{u_2}=\vec{v}(3,3);
Скалярное произведение этих векторов равно (u1,u2)=12+30=2(\vec{u_1},\vec{u_2})=1\cdot 2+3\cdot 0=2.

  • Понравилось?