Вписанный четырехугольник

Если все вершины четырехугольника лежат на одной окружности, то он называется вписанным четырехугольником.

В отличие от треугольника не всякий четырехугольник является вписанным.

Критерий вписанного четырехугольника
Сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180180^{\circ} тогда и только тогда, когда он вписанный.

Свойства вписанного четырехугольника:

  • Углы, опирающиеся на равные дуги окружности, равны. Например, ABD=ACD\angle ABD=\angle ACD.
  • Серединные перпендикуляры к сторонам четырехугольника пересекаются в центре описанной окружности.

Описанный четырехугольник

Если все стороны четырехугольника касаются некоторой окружности, то он называется описанным четырехугольником.

Признак описанного четырехугольника
Суммы длин противолежащих сторон описанного четырехугольника равны: a+c=b+da+c=b+d.

Свойства описанного четырехугольника:

  • Площадь равна S=prS=pr, где p=a+b+c+d2=a+c=b+dp=\frac{a+b+c+d}{2}=a+c=b+d;
  • Биссектрисы углов пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в четырехугольник окружности.
  • Понравилось?