Вывод уравнения гармонических колебаний из закона сохранения энергии

Грузик на пружине и математический маятник являются замкнутыми колебательными системами. В замкнутых системах полная механическая энергия сохраняется.

Выразив кинетическую и потенциальную энергию грузика на пружине или математического маятника через координату – отклонение системы от положения равновесия – и продифференцировав по времени, можно получить дифференциальное уравнение, описывающее обе системы: x¨+ω2x=0\ddot{x}+\omega^{2}x=0

Общий вид решения этого уравнения имеет видx(t)=Asin(ωt+φ0)x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_{0})

Здесь φ0\varphi_{0} – начальная фаза, AA – амплитуда (максимальное отклонение точки) колебаний, xx – координата точки.

Параметр ω=km\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} для грузика на пружине и ω=gl\omega=\sqrt{\frac{g}{l}} для математического маятника называется циклической (круговой) частотой колебаний системы. ω=2πν=2πT\omega=2\pi\nu=\frac{2\pi}{T}, ν\nu – частота колебаний системы, TT – период колебаний.

Период колебаний грузика на пружине определяется формулой
T=2πmk,T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}{,}

а математического маятника – формулой
T=2πlgT=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

Таким образом, две различные механические системы – грузик на пружине и математический маятник – описываются одним дифференциальным уравнением и совершают колебания по одинаковым законам, общим для любой системы, в которой при отклонении системы от положения равновесия возникает возвращающее усилие, пропорциональное отклонению от положения равновесия.

В положении максимального отклонения от положения равновесия скорость колеблющейся материальной точки и, следовательно, её кинетическая энергия равны нулю. Потенциальная энергия системы в этот момент максимальна.

При прохождении положения равновесия потенциальная энергия системы равна нулю, а скорость и кинетическая энергия максимальны.

Подробнее.

  • Понравилось?