Возведение в степень

Выражение aba^b, где aa называется основание, а bb — показатель. Выражение определено для положительных aa и любых действительных bb:

  • если bb натуральное число, то полагаем ab=a...aa^b=a\cdot ...\cdot a\,\, (число aa умножено на себя bb раз);
  • если bb — отрицательное целое, то ab=1ab=1a...aa^b=\frac{1}{a^{-b} }=\frac{1}{a\cdot ...\cdot a};
  • если bb — рациональное число b=pqb=\frac{p}{q}, где pp – целое, qq – натуральное, то ab=(aq)pa^{b}=(\sqrt[q]{a})^p;
  • для произвольного действительного bb выражение aba^b определяется как наименьшее действительное число, которое больше всех чисел aca^c, где cc — рациональное число меньшее bb.

Формулы действия со степенями

Если a,b>0a,b\gt 0, то a0=1,1x=1a^0=1, \,\,\,\, 1^x=1;

akn=akna^{ \frac{k}{n} }=\sqrt[n]{a^k} (где kkцелое число, nnнатуральное число) — связь с арифметическими корнями;

ax=1axa^{-x}=\frac{1}{a^x};

axay=ax+ya^x\cdot a^y=a^{x+y} — произведение степеней;

axay=axy\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y} — отношение степеней;

(ax)y=axy(a^x)^y=a^{xy} — степень в степени;

axbx=(ab)x\frac{a^x}{b^x}=(\frac{a}{b})^x — дробь в степени.

Арифметический корень

an\sqrt[n]{a}арифметический корень степени nn из числа aa, где nnнатуральное число, а aaцелое, причем если nn — четное число, то a0a\ge 0, определяется из соотношения (a)nn=a(\sqrt[n]{a)^n }=a.

9=3\sqrt{9}=3 (проверяем: 32=93^2=9);
273=3\sqrt[3 ]{27}=3 (проверяем: 33=273^3=27);
164=2\sqrt[4]{16}=2 (проверяем: 24=162^4=16).

Формулы действия с арифметическими корнями

Если x,y0x,y\ge 0, n,mn,mнатуральные числа, а kkцелое число, то выполняются равенства

1n=1,0n=0\sqrt[n]{1}=1,\,\,\,\, \sqrt[n]{0}=0;

(xn)n=x(\sqrt[n]{x})^n=x;

xn=x1n\sqrt[n]{x}=x^{ \frac{1}{n} } — связь со степенями;

xyn=xnyn\sqrt[n]{xy}=\sqrt[n]{x}\cdot \sqrt[n]{y} — корень из произведения;

xyn=xnyn,(y0)\sqrt[n]{ \frac{x}{y} }=\frac{\sqrt[n]{x} }{\sqrt[n]{y} }, \,\,\,\, (y\neq 0) — корень из дроби;

xkn=(xn)k\sqrt[n]{x^k}=(\sqrt[n]{x})^k — корень из степени;

xmn=xmn\sqrt[n]{\sqrt[m]{x} }=\sqrt[mn]{x} — корень из корня;

xkmnm=xkn\sqrt[nm]{x^{km} }=\sqrt[n]{x^k} — правило сокращения.

Если nn и mm нечетные, некоторые из этих формул верны и для любых x,y0x,y\neq 0

  • Понравилось?