Что нужно знать

Что вы узнаете

  • Что такое геометрическая прогрессия и чем она отличается от арифметической
  • Как найти любой член геометрической прогрессии
  • Что такое знаменатель геометрической прогрессии и как его найти
  • Чему равна сумма первых nn членов геометрической прогрессии
  • Когда можно вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия

Если в арифметической прогрессии каждый член больше (или меньше) предыдущего на определенное число, то в геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением на одно и то же число qq.

Например, bkb_k больше чем bk1b_{k-1} в 1,51,5 раза для всех k2k\ge 2 — это геометрическая прогрессия.

Последовательность чисел b1,b2,...,bnb_1,b_2,...,b_n называется геометрической прогрессией, если b10b_1\neq 0 и найдется такое число q0q\neq 0, называемое знаменателем прогрессии, что b2=b1qb_2=b_1\cdot q, b3=b2q\,\,b_3=b_2\cdot q, ..., bn=bn1q\,\,b_n=b_{n-1}\cdot q.

Знаменатель может быть и отрицательным числом. Например, последовательность 11, 1-1, 11, 1-1, 11 — это геометрическая прогрессия со знаменателем 1-1.

Выберите из перечисленных ниже последовательностей геометрическую прогрессию:

1-1, 00, 11

11, 22, 44

11, 22, 33

Задачи на геометрические прогрессии во многом аналогичны задачам на арифметические прогрессии. В формулах сложение заменяется умножением, а умножение на kk — возведением в степень kk. В частности, выполняется равенство:

bn=bkqnk.b_n=b_k\cdot q^{n-k}.

Из этой формулы следует такое равенство:

q=bkb1k1=(bkb1)1k1.|q|=\sqrt[k-1]{\frac{b_k}{b_1}}=(\frac{b_k}{b_1})^{\frac{1}{k-1}}.

А теперь ответьте на вопрос на понимание. К какому типу относится такая последовательность, в которой первый член равен 100100, а каждый следующий член последовательности больше предыдущего на 20%20\%?

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Не арифметическая и не геометрическая прогрессия

Решите теперь следующую задачу:

Благодаря успешным продажам ноутбуков, телефонов и планшетников, акции компании Apple с 20042004 по 20122012 годы росли в геометрической прогрессии. Каждые два года акция росла в цене на 100%100\%.

Чему была равна стоимость акции в 20042004 году, если в 20122012 акция стоила 480480 долларов США за штуку?

Сумма первых nn членов геометрической прогрессии

Среди заданий 11 ЕГЭ не бывает задач на сумму геометрической прогрессии. Однако эту тему полезно знать для решения более сложных экзаменационных и практических задач.

Формула суммы геометрической прогрессии оказывается очень полезной для решения практических задач, особенно в области финансов.

Например, если выручка компании увеличивается каждый год на определенный процент, то суммарная выручка за 1010 лет — это сумма геометрической прогрессии.

Сумму геометрической прогрессии со знаменателем q1q\neq 1 можно найти по формуле:

Sn=b1+...+bn=b11qn1q.S_n = b_1+...+b_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}.

Доказать эту формулу несколько сложнее, чем формулу суммы арифметической прогрессии. Тем не менее полезно познакомиться с ее доказательством.

Докажем утверждение по индукции.

Метод математической индукции позволяет доказывать и значительно более сложные утверждения.

Начнем с базы индукции. Если n=1n=1, то равенство очевидно: b1=b11q1qb_1=b_1\cdot \frac{1-q}{1-q}.
Осуществим переход индукции. Предположим, что утверждение доказано нами для прогрессий длины n1n\ge 1. Покажем, что оно верно для прогрессии длины n+1n+1: нам нужно доказать, что b1+...+bn+1=b11qn+11q.b_1+...+b_{n+1} =b_1\cdot \frac{1-q^{n+1} }{1-q}. Итак, в выражении b1+...bn+1b_1+...b_{n+1} нам известно, чему равна сумма первых nn членов (по предположению индукции): b1+...bn=b11qn1qb_1+...b_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}. Последний член прогрессии равен bn+1=b1qnb_{n+1}=b_1\cdot q^{n}. Тогда
b1+...bn+1=b11qn1q+b1qn=b11qn+qn(1q)1q=b11qn+11q.b_1+...b_{n+1}=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}+b_1\cdot q^{n}=b_1\cdot \frac{1-q^n+q^n(1-q)}{1-q}=b_1\cdot \frac{1-q^{n+1} }{1-q}.
Переход доказан.

Решите задачу с помощью этой формулы:

Компания каждый год выплачивает акционерам определенную постоянную долю прибыли в виде дивидендов. В 20092009 году она выплатила 1010 рублей дивидендов на каждую акцию. Сколько она выплатила за 55 лет с 20092009 по 20132013 год при условии, что прибыль компании росла на 100%100\% в год, а число акций оставалось неизменным?

Дисконтированный денежный поток (дополнительно)

Еще одно важное применение геометрической прогрессии в финансах — расчет суммы приведенных (дисконтированных) денежных потоков. Если вы усвоите этот принцип, вам будет понятно, как финансисты рассчитывают справедливую стоимость актива (не важно, какого: акции, слитка золота, выданного кредита или даже коровы, которая дает молоко).

Мы называем денежным потоком любую сумму денег, которую получает (или планирует получить) человек или фирма в определенный период времени (например, в течение 20152015 года). Будем называть человека, который ожидает получить денежный поток, инвестором.

Представьте, что у вас есть выбор: получить 10001000 рублей прямо сейчас или 10001000 рублей через год. Что вы выберете?

Прямо сейчас

Через год

Конечно же, прямо сейчас! Даже если вам не на что тратить эти деньги прямо сейчас, вы можете положить их в банк под процент и через год получить уже больше, чем 10001000 рублей. Например, если банк принимает депозиты под 10%10\% годовых, через год у вас будет 11001100 рублей.

Получаем, что 10001000 рублей сегодня стоят дороже, чем 10001000 рублей через год! Насколько дороже, зависит от тех вариантов вложения, которые у вас имеются. Но в любом случае найдется такое число dd, что 11 рубль сегодня равен 1+d1+d рублей через год.

Если 11 рубль сегодня инвесторы готовы отдать за право получить 1+d1+d рублей через год, то dd называется ставкой дисконтирования.

Иначе говоря, если dd — ставка дисконтирования, то право получить один рубль через год будет стоить 11+d\frac{1}{1+d}, рубль через 22 года — 1(1+d)2\frac{1}{(1+d)^2}, через 1010 лет — 1(1+d)10\frac{1}{(1+d)^{10}}.

Пусть инвестор получает платеж D0D_0 немедленно, D1D_1 через год, D2D_2 через 22 года, …, DnD_n через nn лет. Пусть ставка дисконтирования равна dd. Тогда величина S=D0+D11+d+D2(1+d)2+...+Dn(1+d)nS=D_{0} + \frac{D_1}{1+d}+\frac{D_2}{(1+d)^2}+...+\frac{D_n}{(1+d)^n} называется суммой дисконтированных денежных потоков.

Смысл этой величины в том, что инвестору все равно, получит он SS сейчас (сразу) или платежи D0D_0, D1D_1, ..., DnD_n в будущем (каждый в свой год).

Например, предположим, что предприниматель хочет получить финансирование для проекта, который через год принесет 120120 млн. руб., а через 22 года — 144144 млн. руб., и больше никаких денежных потоков не предвидится. Если ставка дисконтирования равна 20%20\%, то инвестор будет готов вложить в этот проект не больше, чем S=1201,2+144(1,2)2=200S=\frac{120}{1,2}+\frac{144}{(1,2)^2}=200. Причем он будет готов вложить эти деньги только если получит всю прибыль от будущего проекта.

Рассмотрим еще один пример:

Пусть добывающая компания планирует открыть новый рудник по добыче калийной соли. Как только рудник будет оборудован, он начнет приносить доход DD рублей. Предположим, что цены на соль будут расти таким же темпом, как и цены на все остальные товары (то есть с темпом инфляции), ставка дисконтирования равна dd, а срок жизни рудника — nn лет. Какая максимальная сумма инвестиций будет приемлемой, чтобы начать такой проект? Иными словами, какой дисконтированный денежный поток принесет рудник?

Рудник будет приносить DD рублей каждый год. Но DD через один год будет для нас сегодня стоить D1+d\frac{D}{1+d}, через 22 года — D(1+d)2\frac{D}{(1+d)^2} и т.д. Если сложить дисконтированный доход за весь срок жизни рудника, получим:
S=D1+d+D(1+d)2+...+D(1+d)n.S=\frac{D}{1+d}+\frac{D}{(1+d)^2}+...+\frac{D}{(1+d)^n}.
Это сумма геометрической прогрессии. Знаменатель прогрессии равен q=11+dq=\frac{1}{1+d}, а первый член равен D1+d\frac{D}{1+d}. Тогда сумма прогрессии равна:
S=D1+d1qn1q=D1+d1(11+d)n111+d.S=\frac{D}{1+d}\cdot \frac{1-q^n}{1-q}=\frac{D}{1+d}\cdot \frac{1-(\frac{1}{1+d})^n}{1-\frac{1}{1+d} }.

Бесконечная геометрическая прогрессия

Если бы рудник из предыдущей задачи приносил деньги вечно, то мы бы получили бесконечную геометрическую прогрессию. Сумма бесконечной геометрической прогрессии будет конечной, если каждый следующий член меньше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии по модулю меньше 11.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q<1|q| \lt 1 равна b1+b2+...=b11qb_1+b_2+...=\frac{b_1}{1-q}.

Заметим, что выражение b11q\frac{b_1}{1-q} получится, если в формуле конечной геометрической прогрессии b11qn1qb_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q} заменить qnq^n на 00. Это не случайно. Если nn достаточно велико, то сумма первых nn членов прогрессии будет близка к сумме всей прогрессии. При этом величина qnq^n при q<1q\lt 1 будет достаточно мала. Математики говорят, что в пределе, при nn, стремящемся к бесконечности, qnq^n стремится к нулю. Отсюда и получается эта формула.

Получается, что дисконтированный денежный поток от “вечного" рудника составит D1+d1111+d=D1+d1+dd=Dd.\frac{D}{1+d}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+d} }=\frac{D}{1+d}\cdot \frac{1+d}{d}=\frac{D}{d}.

Чему будет равен дисконтированный денежный поток, если в условиях предыдущей задачи ежегодный доход равен 100100 млн. рублей в год, а ставка дисконтирования равна 10%10\%?

млн. рублей

Заключение

Задачи с арифметическими и геометрическими прогрессиями часто встречаются на практике. Если в условии говорится об увеличении на одну и ту же величину, то речь идет об арифметической прогрессии. Если же происходит увеличение в одно и то же число раз, либо на одно и то же число процентов, то речь идет о геометрической прогрессии.

Следующие формулы позволяют решить практически любую задачу на прогрессии:

Арифметрическая прогрессия

ak=a1+(k1)d;a_k=a_1+(k-1)d;d=anaknk;d=\frac{a_n-a_k}{n-k};Sn=a1+a2+...+an=(a1+an)n2=2a1+(n1)d2;S_n = a_1+a_2+...+a_n=(a_1+a_n)\cdot \frac{n}{2}=\frac{2a_1+(n-1)d}{2};

Геометрическая прогрессияbk=b1qk1;b_k=b_1\cdot q^{k-1};q=bnbknk,n>k;|q|=\sqrt[n-k]{\frac{b_n}{b_k}}, n\gt k;Sn=b1+...+bn=b11qn1q;S_n = b_1+...+b_n=b_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q};S=b1+b2+...=b11q(для бесконечной геом. прогрессии).S = b_1+b_2+...=\frac{b_1}{1-q}\,\,\, \text{(для бесконечной геом. прогрессии)}.

  • Понравилось?
    +1