Движение в "лифте". Невесомость и перегрузки. Вращение в вертикальной плоскости

И, наконец, мы дошли до последней темы в цикле, посвященном решению задач по динамике:

  • прямолинейное движение тела на плоскости

  • движение тела по наклонной плоскости

  • движение спутников и планет; вращение тел в горизонтальной плоскости

  • движение "в лифте"; вес тела; невесомость и перегрузки; вращение тел в вертикальной плоскости.

Естественно, учиться решать задачи логичнее всего, разбирая решения задач.

Условие

Космическая ракета при старте с поверхности Земли движется с ускорением 20 м/с220\text{ }м/с^2. Найти вес летчика-космонавта массой 8080 кг в кабине при старте ракеты. 

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Решение

Напомним схему решения любой задачи по динамике (задачи "на силы"):

  1. Сделать рисунок.
  2. Приложить (нарисовать) силы, направить ускорение тела.
  3. Записать 2-й закон Ньютона.
  4. Выбрать оси, нарисовать их, записать уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона, в проекциях на эти оси.
  5. Записать какие-то особые формулы для сил (например, связь силы трения с силой реакции опоры, равенство сил натяжения нити, равенство ускорений для связанных тел, формулу силы упругости...).
  6. Решать.

Шаг 1. Итак, сначала нам надо будет сделать рисунок. Космонавта удобнее изобразить в виде "ящика". Думаем, что он не обидится, а нам так удобнее прикладывать к нему силы. Поскольку мы прошли уже три темы на решение задач по динамике, мы достаточно опытны, для того чтобы объединить пункты 1, 2 и (частично) 4 и одновременно

  • сделать сам рисунок
  • приложить силы и указать ускорение
  • ввести оси для проецирования.

Проанализируем рисунок. На космонавта у нас действуют:

  • сила притяжения со стороны Земли — сила тяжести mgm\vec{g}
  • сила реакции опоры N\vec{N} со стороны ракеты.

В паре с силой реакции опоры всегда идет сила, которая называется "вес тела". Напомним вам, что вес тела — это сила, с которой тело давит на опору или растягивает нить подвеса. Из-за действия силы тяжести тело давит на пол ракеты. Давит оно с силой "вес тела" P\vec{P}.

Как вы думаете, чему равен в данном случае вес тела?

Вес тела равен mgm\vec{g}

Вес тела равен нулю, поскольку это ракета, а ракета — это космос, а в космосе все летают в невесомости, то есть без веса

Так сразу и не сказать — надо считать

У меня нет ответа. Какой там ответ правильный?

На самом деле сам вес мы найти не можем. Мы можем найти силу реакции опоры N\vec{N}. О том, как это сделать, — чуть ниже. По 3-му закону Ньютона, с какой силой тело давит на опору (эта сила — вес тела P\vec{P}) — с такой же силой опора давит на тело (это уже сила реакции опоры N\vec{N}): P=N\vec{P}=-\vec{N}. Поэтому нам достаточно найти именно силу реакции опоры N\vec{N}. Итак, мы "целимся" именно в N\vec{N}.

Двигаемся дальше.

Шаг 2. Запишем 2-й закон Ньютона в векторной форме. Вспомним, что на космонавта действуют только две силы: сила тяжести mgm\vec{g} и сила реакции опоры N\vec{N}. Поэтому второй закон Ньютона будет выглядеть в нашем случае следующим образом:

N+mg=ma\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}.

Запишем этот же закон, но уже в проекциях на ось OXOX:

Nmg=maN-mg=ma.

Вспомним: что нам нужно? Правильно — найти вес тела, который на самом деле равен силе реакции опоры NN. Выражаем NN:

N=ma+mgN=ma+mg,

N=m(g+a)N=m\cdot(g+a).

Подставим численные значения:

N=m(g+a)=80 кг(10мс2+20мс2)=8030 Н=2400 НN=m\cdot(g+a)=80\text{ кг}\cdot(10\frac{м}{с^2}+20\frac{м}{с^2})=80\cdot 30\text{ Н}=2400\text{ Н}.

Ответ. Вес летчика-космонавта равен P=N=2400P=N=2400 Н.

Примечание. Можно заметить, что ускорение, с которым двигается ракета, равно двум ускорениям свободного падения: a=20мс2=210мс2=2ga=20\frac{м}{с^2}=2\cdot 10\frac{м}{с^2}=2g.

Поэтому можно увидеть, что вес тела (сила реакции опоры) равен P=N=m(g+a)=m(g+2g)=3mgP=N=m\cdot(g+a)=m\cdot(g+2g)=3mg.

Вспомним, что в спокойном состоянии, когда летчик-космонавт никуда не движется, его вес равен P=N=mgP=N=mg. То есть мы видим, что в условиях нашей задачи вес летчика увеличился в 33 раза (!). В этом случае говорят, что летчик испытывает трехкратные перегрузки. У него будут точно такие же ощущения, как если бы в спокойном состоянии его масса увеличилась в три раза. Или если бы на него сверху встали еще два таких же человека, как и он сам.

В только что разобранной задаче вес летчика-космонавта увеличился. Точно так же вес может уменьшиться или исчезнуть вовсе — наступит состояние невесомости. Рассмотрим похожую задачу.

Условие

С каким ускорением a1a_1 надо поднимать гирю, чтобы ее вес увеличился вдвое? С каким ускорением a2a_2 надо ее опускать, чтобы вес уменьшился вдвое?

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Решение

Сначала займемся первым вопросом задачи.

Шаг 1. Делаем что? Правильно — рисунок. Гирю кто-то поднимает. То есть гиря должна стоять на какой-то опоре — например, на чьей-то ладони или же на полу в лифте, который ее поднимает.

Шаг 2. Запишем 2-й закон Ньютона:

N+mg=ma1\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}_1.

В проекциях на ось OXOX:

Nmg=ma1N-mg=ma_1.

По условию задачи вес гири должен увеличиться вдвое:

N=2mgN=2mg.

Значит:

2mgmg=ma12mg-mg=ma_1,

mg=ma1mg=ma_1,

a1=ga_1=g.

Нужно поднимать гирю с ускорением свободного падения: a1=ga_1=g.

Теперь ответим на второй вопрос задачи: с каким ускорением надо опускать гирю, чтобы ее вес уменьшился вдвое?

Шаг 1. Что делаем? Конечно же, рисунок. Как и в первом случае, гиря стоит на какой-то опоре — на чьей-то ладони или же на полу в лифте.

Шаг 2. Записываем 2-й закон Ньютона в векторной форме:

N+mg=ma2\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}_2.

В проекциях на ось OXOX:

Nmg=ma2N-mg=-ma_2.

(В отличие от первого случая, ускорение направлено противоположно оси OXOX, поэтому у проекции ускорения появляется знак "минус".)

Вес гири должен быть вдвое меньше, чем в состоянии покоя:

N=mg2N=\frac{mg}{2}.

Подставляем в наше уравнение:

mg2mg=ma2\frac{mg}{2}-mg=-ma_2,

ma2=mgmg2ma_2=mg-\frac{mg}{2},

ma2=mg2ma_2=\frac{mg}{2},

a2=g2a_2=\frac{g}{2}.

Ускорение, с которым опускается гиря, должно быть вдвое меньше ускорения свободного падения.

Ответ. a1=ga_1=g; a2=g2a_2=\frac{g}{2}.

Примечание. Заметим, что гирю можно опускать с таким ускорением, что сила реакции опоры NN (а вместе с ней и вес PP) станет равной нулю (!). Это произойдет в случае, если лифт (или рука, которая поддерживает гирю) будет "падать" с ускорением свободного падения gg:

N=mgma2=mgmg=0N=mg-ma_2=mg-mg=0.

В этом случае нет силы реакции опоры NN, нет и веса PP: тело находится в состоянии невесомости.

Вращение в вертикальной плоскости

Еще один тип задач по этой теме — это всевозможные движения по окружности в вертикальной плоскости. Это может быть самолет, который делает мертвую петлю, это может быть машина, которая двигается по "горбатому" мосту или же, наоборот, съезжает в круглую яму. Рассмотрим для примера одну из таких задач.

Условие

Самолет выходит из пикирования, описывая в вертикальной плоскости дугу окружности радиусом 800800 м. Скорость самолета в нижней точке траектории 200200 м/с. Какую перегрузку испытывает летчик в этой точке?

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Решение

Шаг 1. Как всегда, сделаем рисунок.

Куда направлено ускорение самолета в нижней точке траектории?

Ускорения у самолета нет: в условии задачи сказано, что он двигается со скоростью 200200 м/с - она же постоянна

Ускорение направлено вниз: на самолет действует сила тяжести, а мы знаем, что все тела, брошенные на Земле, двигаются с ускорением свободного падения gg, которое направлено вниз

Ускорение направлено вверх (в нижней точке траектории), поскольку самолет двигается по окружности — а значит, двигается с центростремительным ускорением

Ускорение направлено вправо, поскольку самолет двигается вправо

Тогда дополним наш рисунок:

На летчика в самолете действуют две силы: сила тяжести mgm\vec{g} и сила реакции опоры N\vec{N} (опора в данном случае — это кресло, в котором сидит летчик).

Шаг 2. После того как рисунок сделан, дело за малым: написать 2-й закон Ньютона в векторной форме.

N+mg=maц.с.\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}_{ц.с.}.

В проекциях на ось OXOX:

Nmg=maц.с.N-mg=ma_{ц.с.}.

Выразим силу реакции опоры (ведь она равна весу, а его-то нам и нужно найти):

N=mg+maц.с.=m(g+aц.с.)N=mg+ma_{ц.с.}=m(g+a_{ц.с.}).

У нас не простое ускорение, а центростремительное ускорение. Вспомним, что

aц.с.=V2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}.

Тогда

N=m(g+aц.с.)=m(g+V2R)N=m(g+a_{ц.с.})=m(g+\frac{V^2}{R}).

Ответ готов, можно вычислить NN:

N=m(g+V2R)=m(10мс2+(200мс)2800 м)=m(10мс2+200200м2с2800 м)=N=m(g+\frac{V^2}{R})=m(10\frac{м}{с^2}+\frac{(200\frac{м}{с})^2}{800\text{ м}})=m(10\frac{м}{с^2}+\frac{200\cdot 200\frac{м^2}{с^2}}{800\text{ м}})=

=m(10мс2+200м2с24 м)=m(10мс2+50мс2)=m(g+5g)=6mg=m(10\frac{м}{с^2}+\frac{200\frac{м^2}{с^2}}{4\text{ м}})=m(10\frac{м}{с^2}+50\frac{м}{с^2})=m(g+5g)=6mg.

Видно, что летчик испытывает при этом 6-кратную перегрузку. Непросто же ему пришлось. У него в этот момент ощущения — будто на него сверху село еще 55 таких же людей, как он сам. Посочувствуем ему.

Ответ. Летчик испытывает 6-кратную перегрузку.

Примечание. Заметьте, что в верхней точке траектории центростремительное ускорение будет направлено вниз. Поэтому в уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона и записанное в проекциях, ускорение войдет со знаком "минус". А это значит, что летчик будет испытывать "недогрузку". Ему станет легче — как будто его масса стала меньше. Порадуемся за него.

Задачи для самостоятельного решения: задача 1 и задача 2

  • Понравилось?
    +1
  • 2