Движение под действием нескольких сил: движение на плоскости

Эта тема — первая из цикла четырех тем, посвященных практическому решению задач по динамике. Здесь мы рассмотрим прямолинейное движение тел на плоскости. Условно все задачи по динамике можно разделить на четыре группы:

  • прямолинейное движение тела на плоскости

  • движение тела по наклонной плоскости

  • движение спутников и планет; вращение тел в горизонтальной плоскости

  • движение "в лифте"; вес тела; невесомость и перегрузки; вращение тел в вертикальной плоскости.

Рассмотрим задачу.

Условие

Автобус, масса которого с полной нагрузкой равна 1515 т, трогается с места с ускорением 0,7 м/с20,7\text{ }м/с^2. Найти силу тяги, если коэффициент сопротивления движению равен 0,030,03.

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Решение

Предварительное замечание. В условии задачи встречается словосочетание "коэффициент сопротивления движению". Под этим словосочетанием подразумевают некоторый суммарный коэффициент трения, который учитывает все силы трения, возникающие при движении. Работать с ним можно так же, как и с обычным коэффициентом трения.

Шаг 1. Если даже очень внимательно прочитать условие задачи, то все равно будет не все понятно. Хотелось бы как-нибудь визуализировать условия задачи, сделать их наглядными. И это можно сделать. Сделать с помощью рисунка. Итак, первое, что нужно сделать, — это нарисовать рисунок и указать на нем все приложенные силы.

Делая рисунок и прикладывая силы, мы руководствовались тем, что:

  • сила тяжести mgm\vec{g} всегда направлена вертикально вниз;
  • сила реакции опоры N\vec{N} направлена всегда перпендикулярно опоре;
  • сила трения Fтр\vec{F}_{тр} всегда направлена по касательной к поверхности, а также направлена противоположно внешней приложенной силе;
  • ускорение a\vec{a} и вызывающая движение внешняя сила тяги Fтяги\vec{F}_{тяги} сонаправлены.

Шаг 2. Записываем второй закон Ньютона в векторной форме:

F=ma\vec{F}=m\vec{a}.

Вспоминаем, что во 2-м законе Ньютона под F\vec{F} понимается единственная сила, которая действует на тело, а в случае, если сил несколько, — равнодействующая всех сил. Напомним, что равнодействующая — это векторная сумма всех сил. В итоге мы должны записать:

Fтяги+Fтр+N+mg=ma\vec{F}_{тяги}+\vec{F}_{тр}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a}.

Шаг 3. Что же с этим уравнением делать дальше? Непонятно. Решать уравнение, в котором находятся векторные величины, мы не умеем. Но зато мы умеем решать уравнения с простыми переменными, без векторов. Как можно превратить векторное уравнение в уравнение без векторов? Правильно, надо записать уравнение в проекциях. Но для того, чтобы записать уравнение в проекциях, для начала нужно ввести оси, на которые мы будем производить операцию проецирования. Случай у нас двумерный, поэтому введем две оси.

Шаг 4. Запишем наше уравнение в проекциях на оси.

Как вы думаете, как правильно записать уравнение Fтяги+Fтр+N+mg=ma\vec{F}_{тяги}+\vec{F}_{тр}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a} в проекциях на ось OXOX?

Fтяги+Fтр+N+mg=maF_{тяги}+F_{тр}+N+mg=ma

Fтяги+0+N+mg=0F_{тяги}+0+N+mg=0

0+Fтр+0mg=ma0+F_{тр}+0-mg=-ma

FтягиFтр+0+0=maF_{тяги}-F_{тр}+0+0=ma

Продолжаем. На очереди — ось OYOY.

Как вы думаете, как правильно записать уравнение Fтяги+Fтр+N+mg=ma\vec{F}_{тяги}+\vec{F}_{тр}+\vec{N}+m\vec{g}=m\vec{a} в проекциях на ось OYOY?

FтягиFтр+Nmg=maF_{тяги}-F_{тр}+N-mg=ma

0+0+Nmg=00+0+N-mg=0

0+0+Nmg=ma0+0+N-mg=ma

Fтяги+Fтр+N+mg=maF_{тяги}+F_{тр}+N+mg=ma

Шаг 5. В итоге мы имеем:

FтягиFтр=maF_{тяги}-F_{тр}=ma;

Nmg=0N-mg=0.

Вспомнив, что сила трения равна Fтр=μNF_{тр}=\mu N, мы можем записать:

FтягиμN=maF_{тяги}-\mu N=ma;

N=mgN=mg.

Упрощая дальше, получаем:

Fтягиμmg=maF_{тяги}-\mu mg=ma;

N=mgN=mg.

Мы получили уравнение для силы тяги

Fтяги=μmg+maF_{тяги}=\mu mg+ma.

Величины μ\mu, mm, aa даны в условии задачи, gg — константа. Видим, что мы уже можем спокойно найти силу тяги:

Fтяги=0,031510310+151030,7=F_{тяги}=0,03\cdot 15\cdot 10^3\cdot 10+15\cdot 10^3\cdot 0,7=

=30015+15700=15(300+700)=15000=300\cdot 15+15\cdot 700=15\cdot(300+700)=15000 (Н).

Ответ. Fтяги=15F_{тяги}=15 кН.

Разберем еще одну задачу.

Условие

Брусок массой 400400 г под действием груза массой 100100 г проходит из состояния покоя путь 8080 см за 22 с. Найти коэффициент трения.

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Решение

Это задача на движение связанных тел. В таких задачах надо знать, что сила, с которой нитка тянет два связанных тела, — одинакова. Давайте разберемся, почему это так. Пусть у нас есть два бруска, связанных невесомой нитью (то есть нитью с массой, равной нулю). Пусть нить тянет первое тело с силой T1\vec{T}_1, а второе тело — с силой T2\vec{T}_2.

Тогда по 3-му закону Ньютона тело 1 и тело 2 также действуют на саму нить с силами T1\vec{T}_1' и T2\vec{T}_2'. Причем по тому же 3-му закону Ньютона:

T1=T1\vec{T}_1=-\vec{T}_1'

T2=T2\vec{T}_2=-\vec{T}_2'.

Теперь посмотрим только на нить:

Получается, что на нить действуют две силы: T1\vec{T}_1' и T2\vec{T}_2'. Значит, мы можем найти равнодействующую. Пусть суммарная (равнодействующая) сила равна TT.

Тогда по 2-му закону Ньютона T=maT=m\cdot a, где mm — это масса нити, aa — ускорение, с которым движется нить. Но масса нашей нити m=0m=0. А это значит, что и равнодействующая сил, приложенных к нити, должна быть равна 00:

T=0T=0.

А это, в свою очередь, значит, что T1+T2=0\vec{T}_1'+\vec{T}_2'=0. Или: T1=T2T_1'=T_2'.

То есть нить "передает" силу через себя от одного груза к другому без потери этой силы.

Блок, который присутствует в нашей задаче, лишь "поворачивает" силу, не изменяя ее по величине.

Вернемся к решению нашей задачи.

Шаг 1. Первое, что нужно сделать, — это рисунок.

Шаг 2. Записываем 2-й закон Ньютона.

В этой задаче у нас участвуют два тела. Поэтому 2-й закон Ньютона нужно записать для двух тел:

  • для первого тела: T1+Fтр+N1+m1g=m1a1\vec{T}_1+\vec{F}_{тр}+\vec{N}_1+m_1\vec{g}=m_1\vec{a}_1
  • для второго тела: T2+m2g=m2a2\vec{T}_2+m_2\vec{g}=m_2\vec{a}_2.

Шаг 3. Выберем оси и запишем 2-й закон Ньютона в проекции на каждую из осей.

а) Сначала для тела 1:

На ось OXOXT1Fтр+0+0=m1a1\,\,T_1-F_{тр}+0+0=m_1a_1.

На ось OYOY: 0+0+N1m1g=m10\,\,0+0+N_1-m_1g=m_1\cdot 0.

Итак: {T1Fтр=m1a1N1m1g=0.\begin{cases}T_1-F_{тр}=m_1a_1\\N_1-m_1g=0{.}\end{cases}

б) Для тела 2:

Обратите внимание на то, что движение второго тела одномерное. Оно происходит вдоль одной оси. Поэтому достаточно ввести лишь одну ось.

Уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона для второго тела, в проекции на ось OYOY:

T2+m2g=m2a2-T_2+m_2g=m_2a_2.

Шаг 4. Собираем все, что было получено ранее:

{T1Fтр=m1a1N1m1g=0T2+m2g=m2a2T1=T2.\begin{cases}T_1-F_{тр}=m_1a_1\\N_1-m_1g=0\\-T_2+m_2g=m_2a_2\\T_1=T_2{.}\end{cases}

Дополнительно надо учесть, что нить (обычно) является не только невесомой, но еще и нерастяжимой.

К каким выводам можно прийти, используя то, что нить является нерастяжимой?

Второе тело стоит на месте, а первое — двигается

Первое тело стоит на месте, а второе — двигается

Ускорение первого тела равно ускорению второго тела

Ускорение второго тела равно ускорению свободного падения

Итак, a1=a2=aa_1=a_2=a.

Кроме того, вспомним формулу силы трения скольжения: Fтр=μNF_{тр}=\mu N.

Перепишем наши уравнения:

{TμN1=m1aN1m1g=0T+m2g=m2aT1=T2=Ta1=a2=a.\begin{cases}T-\mu N_1=m_1a\\N_1-m_1g=0\\-T+m_2g=m_2a\\T_1=T_2=T\\a_1=a_2=a{.}\end{cases}

Если убрать лишнее и упростить, то можно получить:

{Tμm1g=m1aT+m2g=m2a.\begin{cases}T-\mu m_1g=m_1a\\-T+m_2g=m_2a{.}\end{cases}

В этой системе уравнений нам известны величины m1m_1, m2m_2 и gg. Среди неизвестных величин остались сила натяжения нити TT, коэффициент трения μ\mu и ускорение тел aa.

Но в условии задачи есть данные, которые мы пока не использовали: брусок (наше тело 1) проходит расстояние S=0,8S=0,8 м за время t=2t=2 с. Из нашего решения задачи мы знаем, что движение первого тела равноускоренное. Причем мы знаем, что брусок начал движение из состояния покоя. Итак, имеем равноускоренное движение из состояния покоя. Известно расстояние, которое прошло тело, время, которое оно затратило. Осталось только найти ускорение.

По какой формуле мы сможем найти ускорение?

S=V0t+at22S=V_0t+\frac{at^2}{2}

S=V0tS=V_0t

S=V0tat22S=V_0t-\frac{at^2}{2}

S=at22S=\frac{at^2}{2}

Найдем ускорение:

a=2St2a=\frac{2S}{t^2};

a=20,822=0,82=0,4a=\frac{2\cdot 0,8}{2^2}=\frac{0,8}{2}=0,4.

Итак, ускорение известно. Теперь в нашей системе уравнений осталось два неизвестных: сила натяжения нити TT и коэффициент трения μ\mu. Два уравнения — два неизвестных.

{Tμm1g=m1aT+m2g=m2a.\begin{cases}T-\mu m_1g=m_1a\\-T+m_2g=m_2a{.}\end{cases}

Решаем систему методом подстановки. Выразим из первого уравнения "неинтересную" для нас силу натяжения нити TT:

{T=m1a+μm1gT+m2g=m2a.\begin{cases}T=m_1a+\mu m_1g\\-T+m_2g=m_2a{.}\end{cases}

Подставим ее во второе уравнение:

(m1a+μm1g)+m2g=m2a-(m_1a+\mu m_1g)+m_2g=m_2a.

Упрощаем:

m1aμm1g+m2g=m2a-m_1a-\mu m_1g+m_2g=m_2a,

m1am2a+m2g=μm1g-m_1a-m_2a+m_2g=\mu m_1g,

μm1g=m2ga(m1+m2)\mu m_1g=m_2g-a(m_1+m_2),

μ=m2ga(m1+m2)m1g\mu=\frac{m_2g-a(m_1+m_2)}{m_1g},

μ=m2gm1ga(m1+m2)m1g\mu=\frac{m_2g}{m_1g}-\frac{a(m_1+m_2)}{m_1g},

μ=m2m1ag(m1+m2)m1\mu=\frac{m_2}{m_1}-\frac{a}{g}\cdot\frac{(m_1+m_2)}{m_1}.

Подставляем числовые значения величин:

μ=0,10,40,410(0,4+0,1)0,4=0,250,4100,50,4=\mu=\frac{0,1}{0,4}-\frac{0,4}{10}\cdot\frac{(0,4+0,1)}{0,4}=0,25-\frac{0,4}{10}\cdot\frac{0,5}{0,4}=

=0,251100,51=0,250,05=0,2=0,25-\frac{1}{10}\cdot\frac{0,5}{1}=0,25-0,05=0,2.

Напомним, что коэффициент трения — безразмерная величина.

Ответ. μ=0,2\mu=0,2.

В качестве резюме составим памятку о том, как решать задачи на силы:

  1. Сделать  рисунок.
  2. Приложить (нарисовать) силы, направить ускорение тела.
  3. Записать 2-й закон Ньютона.
  4. Выбрать оси, нарисовать их, записать уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона, в проекциях на эти оси.
  5. Записать какие-то особые формулы для сил (например, связь силы трения с силой реакции опоры, равенство сил натяжения нити, равенство ускорений для связанных тел, формула силы упругости...).
  6. Решать.

Задачи для самостоятельного решения: задача 1 и задача 2.

  • Понравилось?
    +4
  • 1