О чем эта тема? Тема эта о достаточно несложном процессе — равномерном движении по окружности. Просто что-то движется по окружности, что-то вращается.

Ничего сложного. Только есть некоторая особенность: в школьной физике преимущественно рассматривается равномерное движение по окружности. Что это значит? Это значит почти то же самое, что и в прямолинейном равномерном движении: за равные промежутки времени проходится равное расстояние. Просто в случае равномерного прямолинейного движения равные расстояния проходились по прямой, а в нашем случае движения по окружности равные расстояния проходятся по окружности.

Но по окружности можно двигаться совершенно по-разному: быстро / медленно, двигаться по большой окружности / по маленькой окружности...

Здесь, на рисунке, стрелочки показывают "быстроту", скорость движения.

Движение по окружности характеризуется несколькими величинами. Если посмотреть на приведенные выше рисунки, то можно предположить, что полностью описать движение по окружности можно, если сказать, по насколько большой окружности происходит движение, и сказать о том, как быстро это движение происходит. Насколько большая окружность — это ее размер, например радиус окружности RR. Насколько быстро — например, время одного полного оборота. Итак, некоторые предположения мы сделали, а теперь подробнее. Начнем.

1. Радиус окружности RR, по которой происходит движение. Ну, тут ничего сложного — радиус он и есть радиус — это расстояние между центром окружности и любой точкой окружности. Единица измерения: [R]=1 м=1 метр[R]=1\text{ м}=1\text{ метр}.

2. Период обращения TT — это время, за которое тело совершает полный оборот. Вполне логично, что время полного оборота TT было решено использовать как характеристику движения по окружности. Чем больше это время — тем медленнее, "неохотнее" тело проходит свой круг. Чем меньше это время — тем быстрее происходит вращение.

Если тело за время tt совершает NN оборотов, то чему равно время одного оборота (период)?

T=tNT=t\cdot N

T=NtT=\frac{N}{t}

T=tNT=\frac{t}{N}

T=tNT=t-N

Единица измерения: [T]=1 с=1 секунда[T]=1\text{ с}=1\text{ секунда}.

3. Частота вращения ν\nu — это характеристика, которая показывает, как "часто" обращается тело, как быстро оно это делает, а если быть точнее — то она показывает, сколько оборотов совершает тело за одну секунду.

Как найти частоту (количество оборотов за единицу времени), если за время tt совершается NN оборотов?

ν=tN\nu=\frac{t}{N}

ν=Nt\nu=\frac{N}{t}

ν=Nt\nu=N\cdot t

ν=Nt\nu=N^t

Единица измерения: [ν]=11 сек=1 Гц[\nu]=\frac{1}{1\text{ сек}}=1\text{ Гц}.

Обратите внимание на то, что формулы для периода TT и для частоты ν\nu очень похожи:

T=tNT=\frac{t}{N}, ν=Nt\nu=\frac{N}{t}.

Они как будто "перевернутые" варианты друг друга. Чтобы получить одну формулу — надо другую перевернуть. Это действительно так:

1ν=1Nt=tN=T\frac{1}{\nu}=\frac{1}{\frac{N}{t}}=\frac{t}{N}=T.

T=1νT=\frac{1}{\nu}, ν=1T\nu=\frac{1}{T}.

4. Линейная скорость VV. Это наша "обычная" привычная нам скорость. А при равномерном движении скорость (мы помним) — это путь, деленный на время: V=StV=\frac{S}{t}.

Как можно было бы найти линейную скорость равномерного движения по окружности?

Найти расстояние SS между двумя противоположными точками окружности, то есть диаметр окружности; найти время tt движения между этими точками; поделить расстояние на время: V=StV=\frac{S}{t}.

Разделить длину окружности на время одного оборота, то есть на период TT.

Скорость будет равна нулю, потому что тело после одного оборота возвращается в исходную точку, а значит никуда не смещается.

Разделить радиус окружности на время одного оборота.

В качестве пути можно взять длину окружности, а в качестве времени — время одного оборота, то есть период TT. Из геометрии вы можете помнить (а если не помните — мы вам напомним), что длина окружности равна L=2πRL=2\pi R. Поэтому: V=St=2πRT=2πR1T=2πRν.V=\frac{S}{t}=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\cdot \frac{1}{T}=2\pi R\cdot \nu{.}

V=2πRT=2πRνV=\frac{2\pi R}{T}=2\pi R\cdot \nu

Это очень полезная формула, мы рекомендуем ее запомнить.

Стоит сказать, что, как и любая скорость, линейная скорость — это тоже вектор. Линейная скорость направлена всегда по касательной к окружности, по которой движется тело.

5. Угловая скорость ω\omega. Вот тут появляется величина, которую раньше мы не встречали. Давайте попробуем понять ее смысл и значение, сравнив ее с обычной, линейной, скоростью. Напомним вам, что линейная скорость показывает, "как много расстояния" проходит тело за единицу времени. А угловая скорость показывает, "как много угла" проходит тело за определенное время. То есть она показывает, на какой угол поворачивает тело за единицу времени. То есть фактически угловая скорость — это скорость поворота: ω=φt,\omega=\frac{\varphi}{t}{,}где φ\varphi — величина угла.

Возможно, вы помните, что угол измеряется в градусах. Но в старших классах школы появляется другая единица измерения угла — это радиан. Не будем вдаваться в сложности определения, но скажем, что:

  • полному обороту (360360^{\circ}) соответствует угол φ360=2π\varphi_{360}=2\pi радиан
  • половине оборота (180180^{\circ}) соответствует угол φ180=π\varphi_{180}=\pi радиан
  • четвертинке оборота (9090^{\circ}) соответствует угол φ90=π2\varphi_{90}=\frac{\pi}{2} радиан
  • углу в 6060^{\circ} соответствует угол φ60=π3\varphi_{60}=\frac{\pi}{3} радиан
  • углу в 3030^{\circ} соответствует угол φ30=π6\varphi_{30}=\frac{\pi}{6} радиан.

Как можно было бы найти угловую скорость?

За полный оборот тело возвращается в исходную точку — то есть не смещается; поэтому угол равен нулю — поэтому угловая скорость равна нулю

Угловая скорость — это постоянная величина; она ни от чего не зависит и является одной из физических констант

Полный оборот — это угол 2π2\pi радиан; полное время оборота — это период; поэтому угловая скорость — это ω=φt=2πT\omega=\frac{\varphi}{t}=\frac{2\pi}{T}

Все предложенные ответы неправильные

Найдем угловую скорость. Известно, что ω=φt\omega=\frac{\varphi}{t}. В качестве угла φ\varphi можно взять полный оборот, то есть угол 2π2\pi радиан, а в качестве времени — время одного полного оборота, то есть период TT. Поэтому

ω=2πT,\omega=\frac{2\pi}{T}{,}ω=2πT=2π1T=2πν.\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi\cdot\frac{1}{T}=2\pi\nu{.}

Эти формулы мы тоже рекомендуем запомнить. Это будет полезно.

Единица измерения угловой скорости [ω]=радс[\omega]=\frac{\text{рад}}{\text{с}}.

Оказывается, что линейная скорость VV и угловая скорость ω\omega связаны друг с другом. Рассмотрим пример из жизни. На детских площадках наверняка все видели карусель. Представьте, что карусель вращается. Вы сами сидите на сиденьи этой карусели, а ваш друг не стал сидеть на сиденьи, а "пролез" поближе к центру карусели.

Поскольку каждый из вас поворачивается вокруг карусели на один и тот же угол за то же время, то угловые скорости у вас равны: ωвы=ωдруг\omega_{вы}=\omega_{друг}. Но вот линейные скорости у вас не равны: VвыVдругV_{вы}\neq V_{друг}. Это нам подсказывает наш жизненный опыт. Тот, кто сидит поближе, двигается медленнее.

Чем ближе к центру находится тело — тем меньше его линейная скорость VV. И наоборот: чем дальше от центра (чем больше расстояние от центра), тем больше скорость VV.

Линейная скорость VV также будет больше и в том случае, если будет больше быстрота поворота вокруг оси, то есть угловая скорость ω\omega.

По-простому: чем дальше сидишь от оси (чем больше RR) и чем быстрее вращается тело (чем больше ω\omega), тем больше линейная скорость VV.

Линейную скорость VV можно пойти по формуле:

V=ωR.V=\omega\cdot R{.}

Эту формулу можно вывести строго. Возьмем уже известные нам формулы:

V=2πRνV=2\pi R\cdot \nu и ω=2πν\omega=2\pi\cdot \nu.

Из них видно, что в первой формуле вместо 2πν2\pi\nu можно подставить ω\omega:

V=2πRν=2πνR=(2πν)R=ωRV=2\pi R\cdot \nu=2\pi\nu R=(2\pi\nu)\cdot R=\omega\cdot R.

Мы получили формулу V=ωRV=\omega\cdot R.

Два велосипедиста совершают кольцевую гонку с одинаковой угловой скоростью. Положения и траектории движения велосипедистов показаны на рисунке.

Чему равно отношение скоростей велосипедистов V1V2\frac{V_1}{V_2}?

(Источник: сайт reshuege.ru)

2\sqrt{2}

12\frac{1}{2}

2

4

Осталось последнее. Последнее (!), ребята, в этой теме. Уррра! Мы почти дошли до конца.

6. Центростремительное ускорение. Ускорение? В равномерном движении по окружности?? Откуда там может быть ускорение? Ведь тело движется по окружности равномерно. А слово равномерно означает движение с неизменной скоростью.

Действительно, странно: откуда здесь ускорение? Мы привыкли, что слово "ускорение" ассоциируется с ростом скорости, с ее увеличением. Тело "ускоряется", "убыстряется". Как мы уже знаем, сюда же включаются и случаи замедленного движения — с отрицательным ускорением, когда скорость убывает. Ключевым является то, что скорость изменяется! Со скоростью должно что-то происходить — тогда есть ускорение. Но скорость — ведь это вектор. А у вектора кроме длины есть еще и направление. Скорость может менять свое направление! Как раз с изменением направления скорости и связано появление ускорения. Давайте вспомним определение ускорения: a=V2V1t.\vec{a}=\frac{\vec{V_2}-\vec{V_1}}{t}{.} Попробуем узнать, как должно быть направлено ускорение при движении по окружности. Для этого нам нужно будет вычесть из вектора V2\vec{V_2} вектор V1\vec{V_1}. Вычитать мы не учились, но можно заменить вычитание сложением: a=V2V1t=V2+(V1)t\vec{a}=\frac{\vec{V_2}-\vec{V_1}}{t}=\frac{\vec{V_2}+(-\vec{V_1})}{t}.

Надо сложить векторы V2\vec{V_2} и (V1)-(\vec{V_1}).

На рисунке можно видеть, как складывались два вектора V2\vec{V_2} и (V1)(-\vec{V_1}) по правилу треугольника (о правилах сложения векторов можно почитать здесь). Вектор, получившийся в результате сложения, обозначен зеленым цветом. Видно, что он направлен к центру. Поэтому и вектор ускорения a=V2V1t=V2+(V1)t\vec{a}=\frac{\vec{V_2}-\vec{V_1}}{t}=\frac{\vec{V_2}+(-\vec{V_1})}{t} направлен к центру. Именно поэтому ускорение называется "центростремительным".

При расчете центростремительного ускорения время tt полагается ооочень маленьким (время tt стремится к нулю): маленьким настолько, что тело успевает повернуться только чуть-чуть.

Итак, из-за того что при движении по окружности вектор скорости поворачивается, возникает ускорение, которое всегда направлено к центру.

Можно вывести формулу (но мы этого делать не будем) для центростремительного ускорения и получить:

aц.с.=V2R.a_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}{.}

Если использовать формулу V=ωRV=\omega\cdot R, то можно получить: aц.с.=V2R=(ωR)2R=ω2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}=\frac{(\omega\cdot R)^2}{R}=\omega^2\cdot R. aц.с.=ω2R.a_{ц.с.}=\omega^2 R{.}

Шарик движется по окружности радиусом rr со скоростью VV. Как изменится центростремительное ускорение шарика, если его скорость уменьшить в 22 раза?

(Источник: сайт reshuege.ru)

Уменьшится в 2 раза

Увеличится в 2 раза

Уменьшится в 4 раза

Увеличится в 4 раза

Итак, соберем все формулы по теме вместе.

  • формулы периода обращения T=tNT=\frac{t}{N} и частоты ν=Nt\nu=\frac{N}{t}
  • формулы линейной скорости: V=2πRTV=\frac{2\pi R}{T} и V=2πRνV=2\pi R\nu
  • формулы угловой скорости: ω=φt\omega=\frac{\varphi}{t}, ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T} и ω=2πν\omega=2\pi\nu
  • формула, описывающая связь линейной скорости, угловой скорости и радиуса: V=ωRV=\omega R
  • формулы центростремительного ускорения: aц.с.=V2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R} и aц.с.=ω2Ra_{ц.с.}=\omega^2 R.

Вспомните, что в самом начале этой темы мы предположили, что для описания движения по окружности достаточно знать две величины: радиус окружности RR и время одного оборота (период) TT. Можно показать, что все остальные величины (ν\nu, VV, ω\omega, aц.с.a_{ц.с.}) можно вычислить с использованием только лишь радиуса RR и периода TT. Действительно:

ν=1T\nu=\frac{1}{T}

V=2πRTV=\frac{2\pi R}{T}

ω=2πT\omega=\frac{2\pi}{T}

aц.с.=ω2R=(2πT)2Ra_{ц.с.}=\omega^2 R=(\frac{2\pi}{T})^2\cdot R.

Задачи для самостоятельного решения: #движение по окружности

  • Понравилось?
    +1
  • 2