Движение спутников и планет, вращение тел в горизонтальной плоскости

Эта тема — третья в цикле из четырех тем о движении под действием нескольких сил. В этом цикле мы с вами фактически учимся решать всевозможные задачи из раздела физики, который называется "Динамика". Основное в этих четырех темах — это применение второго закона Ньютона. В этой статье второй закон Ньютона также будет играть ключевую роль.

Лучше всего познакомиться с методикой решения задач на конкретном примере.

Условие

Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы обращаться по круговой орбите на высоте 600600 км над поверхностью Земли? Каков период его обращения?

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Решение

Вспомним план решения задач по динамике (на силы):

  1. Сделать рисунок.
  2. Приложить (нарисовать) силы, направить ускорение тела.
  3. Записать 2-й закон Ньютона.
  4. Выбрать оси, нарисовать их, записать уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона, в проекциях на эти оси.
  5. Записать какие-то особые формулы для сил (например, связь силы трения с силой реакции опоры, равенство сил натяжения нити, равенство ускорений для связанных тел, формулу силы упругости...).
  6. Решать.

Итак.

Шаг 1. Сделаем рисунок.

Шаг 2. Приложим силы, укажем направление ускорения и сразу же нарисуем ось, на которую будет производиться проецирование.

Обратите внимание на то, что единственная сила, которая действует на спутник, — это сила тяготения со стороны Земли. Эта сила направлена к центру Земли. Поскольку она единственная, то и ускорение будет направлено в ту же сторону — к центру Земли (по 2-му закону Ньютона).

Также можно понять, что ускорение направлено к центру Земли, из того факта, что спутник двигается по круговой орбите, то есть по окружности. А из кинематики мы знаем, что движение по окружности — это движение с центростремительным ускорением.

Шаг 3. Запишем 2-й закон Ньютона:

Fт=maц.с.\vec{F}_{т}=m\cdot\vec{a}_{ц.с.}.

В проекции на единственную ось OXOX, которая у нас есть, второй закон Ньютона будет выглядеть следующим образом:

Fт=maц.с.F_{т}=m\cdot a_{ц.с.}.

А дальше идет следующий шаг...

Шаг 4. Надо каким-то образом работать с получившимся выражением. Давайте вспомним формулы для закона всемирного тяготения и центростремительного ускорения.

Закон всемирного тяготения:

Fт=GmMR2F_{т}=G\cdot\frac{m\cdot M}{R^2}, где в данном случае mm — масса спутника, MM — масса Земли, GG — гравитационная постоянная, RR — расстояние от центра Земли до спутника. У кого-то может возникнуть вопрос, почему здесь сила тяжести записывается в виде Fт=GmMR2F_{т}=G\cdot\frac{m\cdot M}{R^2}, а не в привычном уже виде Fт=mgF_{т}=mg. Запись в виде Fт=mgF_{т}=mg справедлива для тел, находящихся на поверхности Земли. Дело в том, что g10 м/с2g\approx 10\text{ }м/с^2 — это значение ускорения свободного падения для фиксированного расстояния между телом и центром Земли, равного радиусу Земли. А в нашей задаче расстояние RR не определено — оно может быть любым.

Центростремительное ускорение:

aц.с.=V2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}.

Тогда из равенства Fт=maц.с.F_{т}=m\cdot a_{ц.с.} следует, что

GmMR2=mV2RG\cdot\frac{m\cdot M}{R^2}=m\cdot\frac{V^2}{R}.

Разделим обе части равенства на mm:

GMR2=V2RG\cdot\frac{M}{R^2}=\frac{V^2}{R}.

Умножим обе части равенства на RR:

GMR=V2G\cdot\frac{M}{R}=V^2.

Получившееся выражение — это фактически "основа" для решения всех задач подобного рода. Когда получено выражение GMR=V2G\cdot\frac{M}{R}=V^2, то дальше остается только сделать какие-то преобразования, чтобы получить выражения для искомых величин.

Итак, в нашей задаче первый вопрос касается скорости движения спутника. Эта скорость присутствует у нас в формуле. Осталось только ее выразить.

Выберите правильное выражение для скорости.

V=GRMV=\sqrt{G\cdot\frac{R}{M}}

V=GMRV=\sqrt{G\cdot\frac{M}{R}}

V=RMGV=\sqrt{R\cdot\frac{M}{G}}

V=GMRV=\sqrt{G\cdot M\cdot R}

Подставим численные значения в нашу формулу. Обратите внимание на то, что расстояние до центра Земли RR равно сумме радиуса Земли и высоты над поверхностью Земли. Значение массы и радиуса Земли можно найти в конце задачников — в справочных таблицах — или в начале варианта ЕГЭ.

V=GMR=6,71011Нм2кг261024 кг6400103 м+600103 м=V=\sqrt{G\cdot\frac{M}{R}}=\sqrt{6,7\cdot 10^{-11}\frac{Н\cdot м^2}{кг^2}\cdot\frac{6\cdot 10^{24}\text{ кг}}{6400\cdot 10^3\text{ м}+600\cdot 10^3\text{ м}}}==6,76710111024106Нмкг==\sqrt{\frac{6,7\cdot 6}{7}\cdot \frac{10^{-11}\cdot 10^{24}}{10^6}\frac{Н\cdot м}{кг}}==5,74107кгмс2мкг=57,4106м2с2=7,6103мс=7,6кмс.=\sqrt{5,74\cdot 10^7\frac{кг\cdot\frac{м}{с^2}\cdot м}{кг}}=\sqrt{57,4\cdot 10^6\frac{м^2}{с^2}}=7,6\cdot 10^3\frac{м}{с}=7,6\frac{км}{с}{.}

Шаг 5. Найдем период обращения. Попробуем вспомнить хоть какую-нибудь формулу из вращательного движения, где фигурирует период обращения. Возможно, что одной из формул, которую вы вспомнили, была формула

V=2πRTV=\frac{2\pi R}{T}.

Отлично! Она нам очень даже подходит. Подставим в эту формулу выражение для скорости, которое было получено на предыдущем шаге:

GMR=2πRT\sqrt{G\cdot\frac{M}{R}}=\frac{2\pi R}{T},

2πRT=GMR\frac{2\pi R}{T}=\sqrt{G\cdot\frac{M}{R}}.

Преобразуйте это выражение, выразите из него период.

Какая формула получается для периода?

T=2π1GMT=2\pi\sqrt{\frac{1}{G\cdot M}}

T=2πGMR3T=2\pi\sqrt{\frac{G\cdot M}{R^3}}

T=2πR3GMT=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G\cdot M}}

T=2πGRMT=2\pi\sqrt{\frac{G\cdot R}{M}}

Всё. Готово. Теперь подставим в формулу периода численные значения:

T=2πR3GM=2π(6400103 м+600103 м)36,71011Нм2кг261024 кг=T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G\cdot M}}=2\pi\sqrt{\frac{(6400\cdot 10^3\text{ м}+600\cdot 10^3\text{ м})^3}{6,7\cdot 10^{-11}\frac{Н\cdot м^2}{кг^2}\cdot 6\cdot 10^{24}\text{ кг}}}==2π(7106 м)36,71011Нм2кг261024 кг=2π736,76101810111024м3Нм2кгкг2=2\pi\sqrt{\frac{(7\cdot 10^6\text{ м})^3}{6,7\cdot 10^{-11}\frac{Н\cdot м^2}{кг^2}\cdot 6\cdot 10^{24}\text{ кг}}}=2\pi\sqrt{\frac{7^3}{6,7\cdot 6}\cdot\frac{10^{18}}{10^{-11}\cdot 10^{24}}\cdot\frac{м^3}{\frac{Н\cdot м^2\cdot кг}{кг^2}}}\approx2π8,532105мНкг=2π85,32104кгмН\approx 2\pi\sqrt{8,532\cdot 10^5\frac{м}{\frac{Н}{кг}}}=2\pi\sqrt{85,32\cdot 10^4\frac{кг\cdot м}{Н}}\approx2π9,24102кгмкгмс25803 с=5803мин6096,7 мин.\approx 2\pi\cdot 9,24\cdot 10^2\sqrt{\frac{кг\cdot м}{кг\frac{м}{с^2}}}\approx 5803\text{ с}=5803\frac{мин}{60}\approx 96,7\text{ мин.}

Ответ. V=GMRV=\sqrt{G\cdot\frac{M}{R}}T=2πR3GMT=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{G\cdot M}},

V=7,6кмсV=7,6\frac{км}{с}, T=96,7 минT=96,7\text{ мин}.

Вращение в горизонтальной плоскости

Другой тип заданий, который следует разобрать, — это задачи на движение чего-либо (обычно какого-либо шарика) в горизонтальной плоскости. Как это выглядит? Нечто (шарик) вращается на нити в плоскости, параллельной полу.

С решением таких задач тоже лучше познакомиться на конкретном примере.

Условие

Шарик, закрепленный на легкой нерастяжимой нити длиной l=60l=60 см, равномерно движется по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. При этом нить образует с вертикалью угол α=60\alpha=60^{\circ}. Определите модуль скорости шарика (в м/с). 

(Источник: ЕГЭ-2013. Физика. Диагностическая работа 1)

Решение

Схема решения остается прежней:

  1. Сделать рисунок.
  2. Приложить (нарисовать) силы, направить ускорение тела.
  3. Записать 2-й закон Ньютона.
  4. Выбрать оси, нарисовать их, записать уравнение, полученное из 2-го закона Ньютона, в проекциях на эти оси.
  5. Записать какие-то особые формулы для сил (например, связь силы трения с силой реакции опоры, равенство сил натяжения нити, равенство ускорений для связанных тел, формулу силы упругости...).
  6. Решать.

Шаг 1. Делаем рисунок:

Шаг 2. Нарисуем силы, ускорение и сразу же нарисуем оси:

Обратите внимание на то, что задача у нас двумерная. Поэтому одной осью здесь не обойтись: нужно вводить пару осей. Также заметьте, что шарик двигается по окружности. Это значит, что он двигается с центростремительным ускорением, которое, естественно, направлено к центру окружности.

На шарик действуют только две силы: сила тяжести и сила натяжения нити.

Шаг 3. Запишем 2-й закон Ньютона в векторной форме:

mg+T=maц.с.m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}_{ц.с.}.

Как видим, ничего сложного. В записанном 2-м законе Ньютона присутствуют только две силы, векторная сумма которых равна произведению массы на ускорение.

Шаг 4. Запишем полученное уравнение в проекциях на оси. Попробуйте сделать это сами.

Как правильно записать уравнение mg+T=maц.с.m\vec{g}+\vec{T}=m\vec{a}_{ц.с.} в проекциях на оси OXOX и OYOY?

{OX:0+Tcosα=maц.с.OY:mg+Tsinα=0\begin{cases}OX:\,\,0+T\cdot\cos\alpha=ma_{ц.с.}\\OY:\,\,-mg+T\cdot\sin\alpha=0\end{cases}

{OX:0+Tsinα=maц.с.OY:mg+Tcosα=0\begin{cases}OX:\,\,0+T\cdot\sin\alpha=ma_{ц.с.}\\OY:\,\,-mg+T\cdot\cos\alpha=0\end{cases}

{OX:0+T=maц.с.OY:mg+0=0\begin{cases}OX:\,\,0+T=ma_{ц.с.}\\OY:\,\,-mg+0=0\end{cases}

{OX:0+Tsinα=0OY:mg+Tcosα=maц.с.\begin{cases}OX:\,\,0+T\cdot\sin\alpha=0\\OY:\,\,-mg+T\cdot\cos\alpha=ma_{ц.с.}\end{cases}

Шаг 5. Работаем с полученной системой уравнений. Но сначала вспомним, что мы можем расписать центростремительное ускорение:

aц.с.=V2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}.

А что же нам надо найти по условию задачи? Нам нужно найти скорость шарика. Скорость VV мы сможем найти, если нам будут известны центростремительное ускорение aц.с.a_{ц.с.} и радиус RR.

Заметьте, что мы можем найти радиус окружности, по которой двигается тело.

Как вы думаете, чему равен радиус окружности RR, по которой происходит движение шарика? 

R=lR=l

R=lcosαR=l\cdot\cos\alpha

R=lsinαR=l\cdot\sin\alpha

R=ltgαR=l\cdot\text{tg}\alpha

Пока подставлять вместо радиуса RR полученное выражение мы не будем. Сделаем это в конце решения.

Формула для центростремительного ускорения (еще раз):

aц.с.=V2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}.

Радиус мы нашли. Чтобы найти скорость, нам нужно найти ускорение. Попробуем сделать это с помощью той системы уравнений, которую мы получили из 2-го закона Ньютона:

{0+Tsinα=maц.с.mg+Tcosα=0.\begin{cases}0+T\cdot\sin\alpha=ma_{ц.с.}\\-mg+T\cdot\cos\alpha=0{.}\end{cases}

Эту систему можно переписать в виде

{Tsinα=maц.с.Tcosα=mg.\begin{cases}T\cdot\sin\alpha=ma_{ц.с.}\\T\cdot\cos\alpha=mg{.}\end{cases}

Попробуем выразить ускорение aц.с.a_{ц.с.}. Это можно сделать из первого уравнения. Но там стоит неизвестная нам сила натяжения нити TT. Ее мы можем выразить из второго уравнения:

{Tsinα=maц.с.T=mgcosα.\begin{cases}T\cdot\sin\alpha=ma_{ц.с.}\\T=\frac{mg}{\cos\alpha}{.}\end{cases}

Подставим силу натяжения в первое уравнение:

mgcosαsinα=maц.с.\frac{mg}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=ma_{ц.с.}.

Видим, что масса mm есть с обеих сторон уравнения, значит ее можно сократить:

sinαcosαg=aц.с.\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot g=a_{ц.с.},

aц.с.=sinαcosαga_{ц.с.}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot g.

Мы нашли центростремительное ускорение. Теперь все готово для нахождения скорости.

Можно подставить полученное выражение для центростремительного ускорения в формулу

aц.с.=V2Ra_{ц.с.}=\frac{V^2}{R}

и выразить скорость:

sinαcosαg=V2R\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot g=\frac{V^2}{R},

V2=sinαcosαgRV^2=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot g\cdot R,

V=sinαcosαgRV=\sqrt{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot g\cdot R}.

Теперь подставим в эту формулу выражение для RR:

V=sinαcosαglsinαV=\sqrt{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot g\cdot l\cdot\sin\alpha},

V=(glcosα)sinαV=(\sqrt{\frac{g\cdot l}{\cos\alpha}})\cdot\sin\alpha.

Всё — это готовая формула для вычисления скорости. Осталось подставить числа:

V=(10мс20,6 мcos60)sin60=(6м2с21/2)32=1232мс=V=(\sqrt{\frac{10\frac{м}{с^2}\cdot 0,6\text{ м}}{\cos 60^{\circ}}})\cdot\sin 60^{\circ}=(\sqrt{\frac{6\frac{м^2}{с^2}}{1/2}})\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{м}{с}=

=362мс=62мс=3мс=\frac{\sqrt{36}}{2}\frac{м}{с}=\frac{6}{2}\frac{м}{с}=3\frac{м}{с}.

Итак, V=3V=3 м/с. Даже ответ получился в виде целого числа. Урррааа.... Мы смогли это сделать.

Задачи для самостоятельного решения: задача 1 и задача 2

  • Понравилось?
  • 1