Начнем с утверждения, что

все тела на Земле, брошенные вертикально вверх, брошенные вертикально вниз и свободно падающие, — все они падают вниз или летят вверх с одним и тем же ускорением — ускорением свободного падения.

Надо сказать, что во всех трех случаях:

  1. бросание тела вверх
  2. бросание тела вниз
  3. свободное падение тела

— во всех этих трех случаях ускорение свободного падения направлено исключительно вниз. Вертикально вниз.

  1. В случае подбрасывания вверх движение тела — равнозамедленное (начальная скорость направлена вверх, ускорение — вниз — оно тормозит тело);
  2. В случае бросания вниз движение тела — равноускоренное;
  3. Также движение тела равноускоренное и в случае свободного падения с нулевой начальной скоростью.

Это утверждение бывает трудно воспринять. Жизнь нам показывает другое: камень и перышко падают по-разному. Камень падает быстро, а перышко спускается медленно. Никак нельзя сказать, что движение у них происходит с одним и тем же ускорением. Да, это так, но падение в этом случае — не свободное. Им мешает воздух. Есть такой классный опыт — трубка Галилея. В нем перышко и камень падают внутри трубки, из которой откачан воздух.

Движение там происходит действительно почти одинаково. Можете сами посмотреть видео.

Это ускорение, с которым двигаются все тела, брошенные на Земле, называется ускорением свободного падения. Обозначается оно буквой gg. Ускорение свободного падения g=9,8g=9,8 м/c2\text{ }м/c^2. Часто в задачах при расчетах полагают, что g=10g=10 м/c2\text{ }м/c^2. Это немного неправильно, но так удобнее. И люди, проверяющие ЕГЭ, против этого не возражают.

Обратите внимание на то, что тела, подброшенные вертикально вверх, летят вверх с тем же ускорением свободного падения. Пока тело летит вверх, это ускорение направлено в сторону, противоположную движению. Оно замедляет движение вверх. Подброшенное вверх тело достигает верхней точки траектории и начинает падать вниз с тем же ускорением. Движение тела, брошенного вертикально вверх, — равноускоренное движение. При этом ускорение тела одинаково и направлено в сторону земли и тогда, когда тело летит вверх, и тогда, когда оно падает вниз.

Разбираться в этой теме лучше всего на конкретных задачах.

Условие

Камень подбрасывают вверх с начальной скоростью V0=2V_0=2 м/с. Запишите уравнения изменения координаты и проекции скорости. Постройте графики зависимости координаты и проекции скорости от времени. Ось направьте вертикально вверх.

Решение

Шаг 1. Сделаем рисунок.

На рисунке обязательно надо указывать:

  • вектор ускорения свободного падения
  • ось для проектирования
  • вектор начальной скорости.

Шаг 2. Мы знаем, что движение происходит под действием ускорения свободного падения. То есть движение равноускоренное. Для равноускоренного движения мы знаем следующие формулы, которые описывают зависимость координаты от времени и проекции скорости от времени:

x=x0+V0xt+axt22x=x_0+V_{0x}\cdot t+\frac{a_xt^2}{2},

V=V0x+axtV=V_{0x}+a_x\cdot t.

"Адаптируем" эти уравнения к нашему случаю. Что это значит? Запишем правильные значения начальной координаты x0x_0, начальной скорости V0xV_{0x} и ускорения axa_x.

Давайте смотреть:

  • тело бросили с земли, где у нас находится начало отсчета оси OXOX. Это значит, что x0=0x_0=0;
  • тело бросили вертикально вверх с начальной скоростью V0=2V_0=2 м/с; скорость направлена вверх, она сонаправлена с осью OXOX, а значит проекция положительна: V0x=V0=2V_{0x}=V_0=2 м/с;
  • ускорение свободного падения gg, действию которого подвержено тело, направлено вниз — противоположно направлению оси OXOX, а значит проекция ускорения отрицательна: ax=g=10a_x=-g=-10 м/c2\text{ }м/c^2.

Тогда наши формулы перепишутся в виде:

x=0+V0tgt22x=0+V_0\cdot t-\frac{gt^2}{2},

V=V0gtV=V_0-gt.

Или, если подставить числа и упростить:

x=2t5t2x=2t-5t^2,

V=210tV=2-10t.

Мы записали уравнения изменения координаты и проекции скорости.

Шаг 3. Теперь построим графики зависимости координаты и проекции скорости от времени.

Зависимость координаты от времени x=2t5t2x=2t-5t^2 является квадратичной. График такой зависимости — парабола. Находим вершину параболы t=b2a=22(5)=15=0,2t=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot (-5)}=\frac{1}{5}=0,2. Значение координаты xx в этой точке равно x=2155(15)2=2515=15=0,2x=2\cdot\frac{1}{5}-5\cdot (\frac{1}{5})^2=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}=0,2.

Чтобы найти точки пересечения параболы с осью абсцисс, решим уравнение 2t5t2=02t-5t^2=0:

2t5t2=0t(25t)=02t-5t^2=0\Rightarrow t(2-5t)=0.

У этого уравнения два корня: t1=0t_1=0 и t2=25t_2=\frac{2}{5}.

Зависимость скорости от времени V=210tV=2-10t является линейной функцией. Это просто прямая.

Все нужное мы записали и построили.

Шаг 4. Предлагаем немного проанализировать полученные решения. Посмотрим на графики. Видно, что с увеличением времени координата сначала увеличивается — это наше тело подлетает наверх. Затем в момент времени 0,20,2 с тело достигает своей вершины — вершины параболы. Затем тело падает вниз и с увеличением времени координата все уменьшается и уменьшается.

Скорость. В начальный момент времени тело имело некоторую скорость. С увеличением времени (мы видим по графику) скорость все уменьшается, уменьшается и уменьшается, но ее проекция остается положительной. Это наше тело движется вверх. В верхней точке траектории тело "замирает" — скорость становится равной нулю. Затем тело начинает двигаться вниз. Скорость теперь уже направлена вниз — противоположно направлению оси OXOX. Поэтому проекция скорости становится отрицательной.

Последнее, что нам необходимо узнать в этой теме, — это значения координаты и скорости в некоторых особых точках. Это:

  • максимальная высота подъема
  • время подъема
  • время полета (до падения)
  • скорость в нижней точке траектории.

Удобнее всего рассмотреть конкретный пример.

Условие

Мальчик, находясь на балконе первого этажа на высоте h=1h=1 м, бросил мячик вертикально вверх со скоростью V0=4V_0=4 м/с. Найдите:

а) момент времени tвершиныt_{вершины}, в который мячик достигнет высшей точки своей траектории;

б) максимальную высоту (относительно земли) hвершиныh_{вершины}, на которую поднимается мячик;

в) скорость в момент пролета мячиком балкона при падении VбалконV_{балкон};

г) скорость в момент времени, когда мячик достигнет земли VземляV_{земля}.

Решение

Шаг 1. Прежде всего — сделаем рисунок, введем вертикальную ось.

Шаг 2. Запишем уравнения движения для нашего случая.

В общем виде:

y=y0+V0yt+ayt22y=y_0+V_{0y}\cdot t+\frac{a_yt^2}{2},

Vy=V0y+aytV_y=V_{0y}+a_yt.

"Адаптируем" эти уравнения в общем виде к нашему конкретному случаю:

y=h+V0tgt22y=h+V_0\cdot t-\frac{gt^2}{2},

Vy=V0gtV_y=V_0-gt.

Подставим и числа тоже:

y=1+4t10t22y=1+4t-\frac{10t^2}{2},

Vy=410tV_y=4-10t.

А теперь — самое главное (!).

Чтобы найти что-то в определенных точках траектории, нужно понять — чем эти точки отличаются от всех остальных точек траектории.

Верхняя точка траектории. Тело как бы останавливается \Rightarrow проекция скорости тела в верхней точке равна нулю: Vy=0V_y=0. Это и надо использовать!

Vy=0Vy=0=410tt=410=0,4V_y=0\Rightarrow V_y=0=4-10t\Rightarrow t=\frac{4}{10}=0,4.

Мы нашли время tвершиныt_{вершины}, в которое мячик достигнет высшей точки своей траектории.

Найдем высоту подъема. Для этого подставим tвершиныt_{вершины} в уравнение для координаты:

yвершины=hвершины=1+40,4100,422=1+1,60,8=1,8y_{вершины}=h_{вершины}=1+4\cdot 0,4-\frac{10\cdot 0,4^2}{2}=1+1,6-0,8=1,8.

Мы справились с пунктами а) и б).

Точка пролета балкона и точка падения уникальны тем, что в них известны координаты. В точке пролета балкона yбалкона=h=1y_{балкона}=h=1, а в нижней точке координата равна нулю: yземля=0y_{земля}=0.

Тогда из yбалкона=h=1=1+4t10t22y_{балкона}=h=1=1+4t-\frac{10t^2}{2} можно найти момент времени пролета балкона:

0=4t10t220=4t-\frac{10t^2}{2},

0=4t5t20=4t-5t^2,

5t24t=05t^2-4t=0,

t(5t4)=0t(5t-4)=0,

t1=0t_1=0 и t2=45=0,8t_2=\frac{4}{5}=0,8.

Первое решение t1=0t_1=0 соответствует моменту броска. В тот момент мячик действительно находился на балконе, но двигался вверх. Это решение нам не интересно.

А второе решение t2=0,8t_2=0,8 соответствует моменту времени, когда мячик пролетал балкон, но летел уже вниз. Подставим это время в уравнение скорости Vy=410tV_y=4-10t.

Получим Vбалкон=4100,8=4V_{балкон}=4-10\cdot 0,8=-4 (м/с).

Проекция скорости получилась отрицательной, поскольку мячик летел уже вниз. Обратите внимание: скорость точно такая же, как была при броске. Просто направлена уже в другую сторону. Так проявляет себя закон сохранения механической энергии, к которому мы обратимся немного позже.

Осталось найти скорость в момент времени, когда мячик достигнет земли. В нижней точке yземля=0y_{земля}=0. Используем этот факт и найдем время, за которое мячик достигнет земли:

yземля=0=1+4t10t22y_{земля}=0=1+4t-\frac{10t^2}{2},

1+4t5t2=01+4t-5t^2=0,

5t24t1=05t^2-4t-1=0.

У этого квадратного уравнения два корня: t1=0,2t_1=-0,2 и t2=1t_2=1.

Первый момент времени нас не устраивает, поскольку он отрицательный. А второй — устраивает. Именно этот момент времени соответствует падению мячика на землю.

Найдем скорость в этот момент времени. Для этого подставим время t=1t=1 в уравнение скорости Vy=410tV_y=4-10t:

Vземля=4101=6V_{земля}=4-10\cdot 1=-6 (м/с).

Скорость получилась отрицательная, поскольку мячик летит вниз, а ось направлена вверх.

Ответ: tвершины=0,4t_{вершины}=0,4; hвершины=1,8h_{вершины}=1,8; Vбалкон=4V_{балкон}=-4; Vземля=6V_{земля}=-6.

Еще раз резюме: чтобы найти какие-то величины в особых точках, нужно использовать их "особенности"; на вершине траектории скорость равна нулю, а в определенных точках траектории обычно известна координата тела.

Задачи для самостоятельного решения: #движение по вертикали

  • Понравилось?
    +2