При прочтении этой темы будет полезно:

У нас есть предложение начать изучать эту тему не с формул, а с жизненного примера. Каждый из нас помнит, что происходит с мячиком / камнем / яблоком и т.д., брошенным одновременно и вверх, и вбок — брошенным под углом к горизонту.

Мы помним, что мячик при этом летит по траектории, которая очень напоминает нам параболу.

А теперь давайте представим другую ситуацию. Пусть теперь мячик точно так же кидает кто-то другой, а мы с вами смотрим на то, как это выглядит со стороны. Предлагаем встать позади кидающего, встанем подальше и смотрим ровно в том направлении, в котором он кидает.

При этом нам будет казаться, что кидающий кидает мячик вертикально вверх. И это будет правда. То есть по вертикали мячик движется так, будто его подкинули вертикально вверх.

А теперь посмотрим сверху на то, как кидающий кидает мячик.

При этом нам будет казаться, что мячик будто просто "катится" по земле, а вовсе не летит по параболе.

Что это значит? Это значит, что полет мячика, брошенного под углом к горизонту, можно представить как два одновременных движения:

  • равномерное движение по горизонтали (вдоль поверхности земли);
  • равноускоренное движение с ускорением свободного падения g\vec{g} по вертикали (перпендикулярно поверхности земли).

Ура! Теперь (мы надеемся) нам все понятно! Мы поняли, что движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно представить как одновременное движение тела, брошенного вертикально вверх (вертикально), и равномерное движение вдоль "земли" (горизонтально).

А теперь распишем все по-научному.

Мы расписываем наше движение по осям координат. Ось XX мы направляем горизонтально (вдоль поверхности земли), а ось YY — вертикально (перпендикулярно поверхности земли). При этом ускорение свободного падения g\vec{g} у нас направлено вертикально вниз.

Как тело, брошенное под углом к горизонту, движется по оси YY?

Равномерно

Равноускоренно

Движения по этой оси нет

Как тело, брошенное под углом к горизонту, движется по оси XX?

Равномерно

Равноускоренно

Движения по этой оси нет

Для решения задач на эту тему необходимо научиться записывать уравнения движения для каждой из осей. Возможно, пока вам не очень понятно, зачем это нужно делать, но чуть позже вы поймете.

Напомним, что уравнения движения — это формулы, которые показывают, как зависит координата от времени и как зависит скорость от времени. Попробуйте выбрать правильные уравнения.

Рассмотрим движение по оси XX. Выберите правильное уравнение для координаты.

x=x0+V0xt+axt22x=x_0+V_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}

x=x0+V0yt+axt22x=x_0+V_{0y}t+\frac{a_xt^2}{2}

x=x0+V0xt+ayt22x=x_0+V_{0x}t+\frac{a_yt^2}{2}

x=x0+V0xtx=x_0+ V_{0x}t

x=x0+V0ytx=x_0+V_{0y}t

Чему равна проекция скорости на ось XX? Выберите правильное уравнение.

Vx=V0x+axtV_x=V_{0x}+a_x\cdot t

Vx=V0x+aytV_x=V_{0x}+a_y\cdot t

Vx=V0x=constV_x=V_{0x}=const (постоянная величина)

Как найти V0xV_{0x}? V0xV_{0x} — это просто компонента (часть) скорости V0V_0, которая направлена вдоль оси XX.

Это просто проекция скорости V0V_0 на ось XX.

Чему равна проекция скорости V0xV_{0x}?

Составьте правильную формулу.

Подытог:

x=x0+V0xtx=x_0+V_{0x}t, а поскольку мячик бросают из начала координат, то x=V0xtx=V_{0x}t.

Vx=V0x=V0cosα=constV_x=V_{0x}=V_0\cdot\cos\alpha=const.

Теперь рассмотрим движение по оси YY. Выберите правильное уравнение для координаты.

y=y0+V0yt+ayt22y=y_0+V_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2}

y=y0+V0yt+axt22y=y_0+V_{0y}t+\frac{a_xt^2}{2}

y=y0+V0xt+ayt22y=y_0+V_{0x}t+\frac{a_yt^2}{2}

y=y0+V0yty=y_0+V_{0y}t

y=y0+V0xty=y_0+V_{0x}t

Чему равна проекция ускорения?

ay=0a_y=0

ay=ga_y=g

ay=ga_y=-g

ay=1ga_y=\frac{1}{g}

Начальная координата y0=0y_0=0, поскольку "бросок" происходит из точки с координатой 00. Подставим значения y0y_0 и aya_y в уравнение координаты и получим:

y=V0ytgt22y=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}.

Теперь давайте найдем V0yV_{0y}.

V0yV_{0y} — это проекция вектора V0\vec{V_0} на ось OYOY.

Чему равна проекция V0yV_{0y} вектора начальной скорости V0\vec{V_0} на ось OYOY?

Составьте правильную формулу.

Теперь последнее — зависимость скорости от времени для оси OYOY. Мы помним, что движение там равноускоренное. Ускорение — это ускорение свободного падения.

Чему равна проекция скорости на ось OYOY? Выберите правильное уравнение.

Vy=V0y=constV_y=V_{0y}=const

Vy=V0y+aytV_y=V_{0y}+a_yt

Vy=aytV_y=a_yt

Vy=V0y+axtV_y=V_{0y}+a_xt

Мы помним, что проекция ускорения равна ay=ga_y=-g. Поэтому формула для скорости переписывается в виде:

Vy=V0ygtV_y=V_{0y}-gt.

Подытог:

y=V0ytgt22y=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2},

Vy=V0ygtV_y=V_{0y}-gt,

V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\cdot \sin\alpha.

И окончательный итог:


По оси XXПо оси YY
Координата x=V0xtx=V_{0x}t y=V0ytgt22y=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}
Скорость Vx=V0x=constV_x=V_{0x}=const Vy=V0ygtV_y=V_{0y}-gt
Начальная скорость V0x=V0cosαV_{0x}=V_0\cos\alpha V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\sin\alpha

Выглядит устрашающе. Согласны. Но если вы поймете то, что здесь было объяснено, и если вы сможете записать такие формулы — то вам не страшна никакая задача ЕГЭ вплоть до задач части 22.

Как решать задачи

В задачах о теле, брошенном под углом к горизонту, чаще всего бывает нужно найти:

  • время подъема на вершину tвершиныt_{вершины};
  • максимальную высоту подъема hh;
  • время падения на землю tt;
  • дальность полета LL.

Если вы просматривали тему "Движение тела, брошенного вертикально вверх", то вы, наверно, уже догадались, каким образом находятся все эти величины. Для тех же, кто не догадался или же не читал ту тему, мы скажем, что для нахождения этих четырех величин используются особенности тех точек траектории, в которых надо найти время, координату и т.д. Главное слово — особенности. Чтобы было понятнее, рассмотрим нахождение этих величин на конкретном примере.

Условие

Из пушки вылетел снаряд с начальной скоростью V0=100V_0=100 м/с под углом к горизонту α=30\alpha=30^{\circ}. Найдите:

  • время подъема на вершину tвершиныt_{вершины};
  • максимальную высоту подъема hh;
  • время падения на землю tt;
  • дальность полета LL.

Решение

Шаг 1. Сделаем что? Правильно — рисунок. Обозначим на нем оси.

Шаг 2. Запишем уравнения движения. Сначала в общем виде:

x=x0+V0xtx=x_0+V_{0x}t,

Vx=V0x=V0cosα=constV_x=V_{0x}=V_0\cos\alpha=const,

y=y0+V0yt+ayt22y=y_0+V_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2},

Vy=V0y+aytV_y=V_{0y}+a_yt,

V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\sin\alpha.

"Адаптируем" уравнения к нашему случаю:

x=V0xtx=V_{0x}t,

Vx=V0x=V0cosα=constV_x=V_{0x}=V_0\cos\alpha=const,

y=V0ytgt22y=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2},

Vy=V0ygtV_y=V_{0y}-gt,

V0y=V0sinαV_{0y}=V_0\sin\alpha.

Подставим конкретные числовые значения:

x=100cos30tx=100\cdot \cos 30^{\circ}\cdot t,

Vx=100cos30V_x=100\cdot \cos 30^{\circ},

y=100sin30t10t22y=100\cdot \sin 30^{\circ}\cdot t-\frac{10t^2}{2},

Vy=100sin3010tV_y=100\cdot \sin 30^{\circ}-10t,

V0y=100sin30V_{0y}=100\cdot \sin 30^{\circ}.

Замечательно!

Шаг 3. Займемся временем подъема на вершину tвершиныt_{вершины}.

Чем примечательна верхняя точка траектории?

тело останавливается, скорость тела становится равной нулю

тело набирает самую большую скорость

тело разворачивается и летит обратно в точку вылета

проекция скорости тела Vx=0V_x=0

проекция скорости тела Vy=0V_y=0

Помните воображаемый эксперимент, когда мы смотрели сзади на человека, бросающего мячик под углом к горизонту? Нам казалось, что мячик просто подбрасывается вверх. В верхней точке он как бы "замирает". Но замирает он только по оси OYOY. Это так работает "тормозящее" действие ускорения свободного падения. При этом по оси OXOX скорость не равна нулю. Напомним вам, что скорость по оси OXOX не изменяется — она всегда постоянна, поскольку вдоль оси OXOX нет никакого ускорения.

Красным цветом на рисунке обозначен вектор скорости в верхней точке траектории. Он перпендикулярен оси OYOY, поэтому проекция на эту ось равна Vy=0V_y=0.

Итак:

Vy=V0ygt=0100sin3010t=0V_y=V_{0y}-gt=0\Rightarrow 100\cdot \sin 30^{\circ}-10t=0\Rightarrow

5010t=0t=550-10t=0\Leftrightarrow t=5.

Поэтому время подъема на верхнюю точку траектории равно tвершины=5t_{вершины}=5 секунд.

Шаг 4. Найдем высоту подъема hh. Время подъема у нас есть, поэтому высоту подъема можно найти с помощью уравнения для координаты yy:

y=V0ytgt22y=100sin30t10t22y=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}\Rightarrow y=100\cdot \sin 30^{\circ}\cdot t-\frac{10t^2}{2}.

Подставим в это уравнение t=5t=5:

y(5)=50510522=250125=125y(5)=50\cdot 5-\frac{10\cdot 5^2}{2}=250-125=125.

Отлично! Высота подъема равна h=y(5)=125h=y(5)=125 м.

Шаг 5. Теперь приступим к нахождению времени падения на землю.

Что особенного в точке траекториии, где тело (снаряд) падает на землю?

тело останавливается, поэтому скорость V=0V=0

проекция скорости Vy=0V_y=0

координата x=0x=0

координата y=0y=0

Воспользуемся тем, что в точке, где снаряд падает на землю, координата yy равна нулю:

y=V0ytgt22=0100sin30t5t22=0y=V_{0y}t-\frac{gt^2}{2}=0\Rightarrow 100\cdot\sin 30^{\circ}\cdot t-\frac{5t^2}{2}=0\Rightarrow

50t5t2=05t250t=0t210t=050t-5t^2=0\Leftrightarrow 5t^2-50t=0\Leftrightarrow t^2-10t=0\Leftrightarrow

t(t10)=0t1=0t(t-10)=0\Rightarrow t_1=0, t2=10t_2=10.

Получилось два ответа. Почему?

Почему у нас получилось два ответа?

один ответ запасной на случай, если другой не пройдет

тело при пролете траектории бывает в двух точках, в каждой из которых координата y=0y=0

надо взять среднее значение этих времен

мы где-то ошиблись, надо перепроверить решение

Итак, время падения на землю равно tпадения=10t_{падения}=10.

Обратите внимание: на то, чтобы достигнуть вершины, тело затратило 55 секунд. А на то, чтобы пролететь всю траекторию, оно затратило 1010 секунд. То есть тело 55 секунд "взбиралось" на вершину и столько же времени (55 секунд) "спускалось" вниз. Так будет всегда. Время подъема = времени спуска. Знать это бывает полезно для решения задач части 11 ЕГЭ.

Шаг 6. Дальность полета. Дальность — это же координата по оси OXOX! Значит, дальность мы могли бы вычислить по формуле:

x=V0xtx=100cos30tx=V_{0x}t\Rightarrow x=100\cdot\cos 30^{\circ}\cdot t.

Надо знать только время полета. А его мы уже нашли! tпадения=10t_{падения}=10.

Тогда:

L=x(10)=100cos3010=100032866L=x(10)=100\cdot\cos 30^{\circ}\cdot 10=1000\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx866 (м).

Ура! Мы все сделали.

Ответ: tвершины=5t_{вершины}=5 (с), h=y(5)=125h=y(5)=125 (м), tпадения=10t_{падения}=10 (c), L=x(10)866L=x(10)\approx 866 (м).

Резюме и некоторая "концентрированная выжимка" из того материала, что мы разобрали

На самом деле при решении этой задачи мы действовали немного вслепую. Мы использовали то, что могли использовать, и находили то, что можно было находить. Мы "цеплялись" за то, что увидели, а именно:

  • в верхней точке траектории компонента вектора скорости Vy=0V_y=0
  • в точке падения y=0y=0.

Задачи для самостоятельного решения: #движение под углом к горизонту

  • Понравилось?
    +3