Что нужно знать

Что вы узнаете

  • Как сократить дробь?
  • Как привести дроби к общему знаменателю?
  • Как сложить, вычесть, умножить или разделить дроби?

Тема этой статьи может показаться простой, ведь речь пойдет о вещах, которые должны быть известны с 5–6 класса. Однако многие старшеклассники и даже студенты неуверенно себя чувствуют, когда приходится работать с дробями.

В некоторых случаях человек ловко использует аппарат дифференциального исчисления для поиска экстремума, но потом не справляется со сравнением двух дробей при определении максимума функции.

Вычисление выражений вроде (4142)623(4 \frac{1}{4}-2)\cdot 6 \frac{2}{3} у многих вызывает сложности.

Для того чтобы уверенно себя чувствовать на экзамене, необходимо уметь выполнять все упражнения, встречающиеся в этой главе. Речь пойдет о сокращении дробей, а также их сложении, вычитании, умножении и делении.

Если вы не очень уверенно себя чувствуете, когда речь заходит о различных видах дробей (обыкновенные, смешанные, десятичные и т.д.), или не помните, что такое числитель или знаменатель дроби, то прочитайте статью "Дроби – справочная информация".

Сокращение дробей

Числитель и знаменатель дроби можно разделить или умножить на одно и то же число. Дробь, которую мы при этом получим, равна исходной дроби.

Когда мы делим числитель и знаменатель на одно и то же число, чтобы дробь стала проще, мы занимаемся сокращением дробей.

Сократим дробь 1015\frac{10}{15}.
Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на 55.
1015=2535=23\frac{10}{15}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}=\frac{2}{3}

Перед тем как приступать к действиям с дробями, их бывает полезно сократить. Также постарайтесь сокращать слишком страшные дроби, которые получаются во время промежуточных вычислений.

Чтобы сократить дробь ab\frac{a}{b}, нужно вычислить наибольший общий делитель НОД(a,b)\text{НОД}(a,b) и поделить на него числитель и знаменатель дроби.

Для того чтобы вычислить НОД\text{НОД} двух чисел, используют алгоритм Евклида. Однако на практике гораздо проще постепенно делить (сокращать) числитель и знаменатель на общие делители, которые ищутся с помощью признаков делимости.

Например, можно заметить, что в дроби 2466\frac{24}{66} числитель и знаменатель – четные числа. Поэтому на 22 эту дробь точно можно сократить: 2466=1233\frac{24}{66}=\frac{12}{33}. Теперь можно увидеть, что оба числа делятся на 33. Сокращаем дальше: 1233=411\frac{12}{33}=\frac{4}{11}. Получили несократимую дробь.

Дробь ab\frac{a}{b} является несократимой, если НОД(a,b)=1\text{НОД}(a,b)=1.

Сократите 3045\frac{30}{45}. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Сократите 8517\frac{85}{17}.

Сложение и вычитание дробей

Дроби с одинаковым знаменателем

Нет ничего проще, чем сложение дробей с одинаковым знаменателем.

Сложить 27\frac{2}{7} и 37\frac{3}{7} — это все равно, что сложить 22 куска торта, разрезанного на 77 частей, и 33 куска того же торта. Получится 2+3=52+3=5 кусков торта, или 57\frac{5}{7}.

Вычислите 3515\frac{3}{5}-\frac{1}{5}. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Дроби с разными знаменателями

Сложение дробей с разными знаменателями — это уже задачка посложнее. Как можно сложить, например, кусок пиццы, порезанной на 55 частей, с куском пиццы, порезанной на 44 части? Иными словами, как сложить 15\frac{1}{5} пиццы и 14\frac{1}{4} пиццы? Какую часть целой пиццы мы в результате получим?

Для того чтобы это сделать, необходимо порезать пиццу на еще меньшие куски. Если мы возьмем пиццу с 54=205\cdot 4=20 кусками, то ее 44 куска будут равны 15\frac{1}{5}, а 55 кусков — 14\frac{1}{4} целой пиццы. Получается, что 15+14=420+520=920\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{4}{20}+\frac{5}{20}=\frac{9}{20}.

То есть сначала необходимо выбрать общий знаменатель, затем привести дроби к этому знаменателю, а затем сложить числители этих дробей.

Общий знаменатель — это такое число, которое делится на каждый из знаменателей складываемых (или вычитаемых) дробей.

Например, произведение знаменателей всегда делится на каждый из знаменателей.

Найдите произведение знаменателей дробей 27\frac{2}{7} и 34\frac{3}{4}.

Найдите произведение знаменателей дробей 15\frac{1}{5} и 43\frac{4}{3}.

Найдите произведение знаменателей дробей 26\frac{2}{6} и 32\frac{3}{2}.

Как же теперь привести дроби 27\frac{2}{7} и 34\frac{3}{4} к знаменателю 2828?

Вспоминаем, что если умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, то значение дроби не изменится. Например, 15\frac{1}{5} и 210\frac{2}{10} — это одно и тоже число.

То есть нужно домножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы в знаменателе получился общий знаменатель дробей (в случае дробей 27\frac{2}{7} и 34\frac{3}{4} — число 2828).

Числитель и знаменатель дроби 27\frac{2}{7} нужно умножить на 44:

27=2474=828\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{8}{28},

— а числитель и знаменатель 34\frac{3}{4} — на 77:

34=3747=2128\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}.

Теперь можно без труда сложить получившиеся дроби: 828+2128=2928=1128\frac{8}{28}+\frac{21}{28}=\frac{29}{28}=1 \frac{1}{28}.

Общая формула, которой можно пользоваться для сложения дробей: ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}

Пользуясь этой формулой, мы получим, что 13+16=16+3136=918\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6+3\cdot 1}{3\cdot 6}=\frac{9}{18}. Как мы видим, эту дробь можно сократить на 99. Получится 12\frac{1}{2}.

Наименьший общий знаменатель

Можно ли сразу получить дробь, которую не надо было бы сокращать, то есть дробь с наименьшим возможным знаменателем?

Да, можно! Для этого вместо перемножения знаменателей необходимо вычислить их наименьшее общее кратное. То есть наименьшее число, которое делится на оба знаменателя. Наименьшее общее кратное чисел bb и dd обозначается НОК(b,d)\text{НОК}(b,d).

Например:

НОК(3,6)=6\text{НОК}(3,6)=6

НОК(10,15)=30\text{НОК}(10,15)=30.

Для того чтобы вычислить НОК, требуется разложить числа на простые множители, а затем для каждого простого делителя, который входит в разложение хотя бы одного из чисел, выбрать максимальную степень, в которой он входит в разложения.

Например, чтобы вычислить НОК(45,30)\text{НОК}(45,30), разложим числа на множители:
45=33545=3\cdot 3\cdot 5,
30=23530=2\cdot 3\cdot 5.
Число 33 входит в разложения в максимальной степени 22, а числа 22 и 55 — в степени 11. Поэтому НОК равно 2325=902\cdot 3^2\cdot 5=90.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 38\frac{3}{8} и 512\frac{5}{12}.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 25\frac{2}{5} и 76\frac{7}{6}.

Найдите наименьший общий знаменатель для дробей 285\frac{2}{85} и 1817\frac{18}{17}.

После того как общий знаменатель найден, нужно привести дроби к этому знаменателю. То есть домножить числитель и знаменатель каждой дроби на такое число, что в знаменателе получится общий знаменатель.

Например, для дробей 845\frac{8}{45} и 730\frac{7}{30} общий знаменатель равен 9090. Чтобы получить в знаменателе 9090, число 4545 нужно умножить на 22, а число 3030 — на 33. Получим:

845+730=8290+7390=16+2190=3790\frac{8}{45}+\frac{7}{30}=\frac{8\cdot 2}{90}+\frac{7\cdot 3}{90}=\frac{16+21}{90}=\frac{37}{90}.


В общем виде этот подход можно описать так.

Чтобы сложить дроби ab\frac{a}{b} и cd\frac{c}{d}, вычислите НОК(b,d)\text{НОК}(b,d) и числа b1=НОК(b,d)bb_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{b} и d1=НОК(b,d)dd_1=\frac{\text{НОК}(b,d)}{d}. Тогда ab+cd=ab1bb1+cd1dd1=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot b_1}{b\cdot b_1}+\frac{c\cdot d_1}{d\cdot d_1}==ab1НОК(b,d)+cd1НОК(b,d)=ab1+cd1НОК(b,d)=\frac{ab_1}{\text{НОК}(b,d)}+\frac{cd_1}{\text{НОК}(b,d)}=\frac{ab_1+cd_1}{\text{НОК}(b,d)}

То, что написано выше, выглядит сложно, однако при достаточной тренировке этот метод сложения является самым эффективным.

Найдите сумму дробей 718\frac{7}{18} и 724\frac{7}{24}. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Найдите сумму дробей 913\frac{9}{13} и 139\frac{1}{39}. В ответе запишите обыкновенную дробь (через / ).

Найдите сумму дробей 334\frac{3}{34} и 910\frac{9}{10}. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).

Умножение и деление дробей

Умножать и делить дроби проще, чем складывать и вычитать.

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители, перемножить их знаменатели, а затем поделить первое произведение на второе:abcd=acbd\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую дробь сначала "перевернуть", а затем перемножить первую дробь и перевернутую вторую дробь:ab÷cd=abdc=adbc\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}

Найдите произведение 611\frac{6}{11} и 23\frac{2}{3}. В ответе запишите обыкновенную дробь (после сокращения, через / ).

Перед умножением и делением дроби лучше сокращать, чтобы работать с меньшими числами. При этом сокращать дроби можно и "по диагонали" (перед умножением): сокращать числитель одной дроби со знаменателем другой дроби.

Рассмотрим произведение 61123\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}. Числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 33. Отсюда:

61123=3211231=21121=22111=411\frac{6}{11}\cdot\frac{2}{3}=\frac{3\cdot 2}{11}\cdot\frac{2}{3\cdot 1}=\frac{2}{11}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2\cdot 2}{11\cdot 1}=\frac{4}{11}.

Приведем еще один пример. Пусть нам надо умножить 3539\frac{35}{39} на 2625\frac{26}{25}. Если решать этот пример "в лоб", придется найти произведения 352635\cdot 26 и 392539\cdot 25, а делать это очень не хочется. Зато можно заметить, что числитель первой дроби и знаменатель второй дроби делятся на 55, а числитель второй дроби и знаменатель первой дроби делятся на 1313. Сократим дроби перед умножением:

35392625=5731321355=7325=7235=1415\frac{35}{39}\cdot \frac{26}{25}=\frac{5\cdot 7}{3\cdot 13}\cdot\frac{2\cdot 13}{5\cdot 5}=\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 2}{3\cdot 5}=\frac{14}{15}

Вычислите 13÷16\frac{1}{3}\div \frac{1}{6}.

Вычислите 2324÷4636\frac{23}{24}\div\frac{46}{36}.

А как умножить, например, 3233 \frac{2}{3} на 1271 \frac{2}{7}?

Если вам даны смешанные дроби, всегда преобразовывайте их в неправильные простые дроби, прежде чем умножать, делить, возводить в степень или извлекать корень.

323127=11397=9921=337=4573 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{2}{7}= \frac{11}{3} \cdot \frac{9}{7}=\frac{99}{21}=\frac{33}{7}=4 \frac{5}{7}.

Перемножьте 1121 \frac{1}{2} и 1131 \frac{1}{3}.

Многие школьники, пренебрегая этим простым правилом, совершают ошибки в примерах, подобных этому: 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9}.

В таком примере возникает желание срезать углы, сократить что-нибудь раньше времени.

А какой ответ в примере 449÷494 \frac{4}{9}\div \frac{4}{9} на самом деле правильный?

  • Понравилось?