Эта тема — продолжение и некоторая модификация предыдущей темы "Закон сохранения полной механической энергии". Напомним, что в предыдущей теме мы ввели такое понятие, как полная механическая энергия:

Eполн.мех.=mV22+mghE_{полн.мех.}=\frac{mV^2}{2}+mgh.

Полная механическая энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергий. И в прошлой теме мы говорили о том, что эта сумма не меняется, если тело переходит из одного состояния — в другое. То есть полная механическая энергия сохраняется:

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2=\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1.

Однако оказывается, что это не всегда так, это не всегда "правда". Рассмотрим два простых жизненных примера.

Пример первый. Возьмем ручку. Запустим ее в движение по горизонтальному столу.

Что мы увидим? Да, правильно — ручка вначале будет двигаться, а в конце концов — остановится. Что получается? Получается, что вначале мы сообщили ручке кинетическую энергию, а в конце кинетическая энергия стала равна нулю. Заметим, что потенциальная энергия не менялась, так как стол горизонтальный — любая его точка находится на одной и той же высоте. Выходит, что кинетическая энергия движения ручки просто "пропала". Как так? Ведь у нас есть закон сохранения полной механической энергии? Об этом чуть позже.

Рассмотрим второй пример. По гладкому ровному горизонтальному столу катится бильярдный шар. Жизненный опыт подсказывает нам, что если ничего не делать, то шар может двигаться так с почти постоянной скоростью очень долго.

Но мы кое-что сделаем: мы немного подтолкнем его.

После этого шар покатится с большей скоростью.

И что же получается в этом случае? Получается, что шар увеличил свою скорость; шар увеличил свою кинетическую энергию. Потенциальная энергия не менялась, поскольку стол (мы договорились заранее) был горизонтальный. А по закону сохранения полной механической энергии кинетическая энергия должна была остаться неизменной. Как так? Опять закон сохранения энергии не выполняется. В этом случае полная механическая энергия вдруг увеличилась.

Все дело в том, что закон сохранения полной механической энергии справедлив только для систем, где действуют только потенциальные силы, а другие силы либо не действуют, либо их работа равна нулю.

Но не все потеряно, господа! Закон сохранения полной механической энергии можно еще "спасти". Кинем ему спасательный круг. Спасем его. Давайте вспомним, как мы выводили закон сохранения полной механической энергии, и попробуем модифицировать вывод этого закона.

Итак, работа равнодействующей силы может быть вычислена как изменение кинетической энергии:

A=mV222mV122=Ek2Ek1A=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}=E_{k2}-E_{k1}.

При этом работу равнодействующей силы можно вычислить и другим образом — как произведение силы на перемещение:

A=FScosαA=F\cdot S\cdot\cos\alpha.

Пусть в системе действуют как потенциальные, так и непотенциальные силы.

Как можно вычислить работу равнодействующей силы, если известны работы потенциальных и непотенциальных сил?

Aравн=AпотенцAнепотенцA_{\text{равн}}=A_{\text{потенц}}-A_{\text{непотенц}}

Aравн=Aпотенц×AнепотенцA_{\text{равн}}=A_{\text{потенц}}\times A_{\text{непотенц}}

Aравн=Aпотенц+AнепотенцA_{\text{равн}}=A_{\text{потенц}}+A_{\text{непотенц}}

Aравн=AпотенцAнепотенц100%A_{\text{равн}}=\frac{A_{\text{потенц}}}{A_{\text{непотенц}}}\cdot 100\%

Итак, работу равнодействующей можно расписать:

Aравн=Aпотенц+Aнепотенц=mV222mV122A_{равн}=A_{потенц}+A_{непотенц}=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}.

А как можно расписать работу потенциальной силы, например работу силы тяжести?

Aпотенц=0A_{потенц}=0

Aпотенц=mgh1mgh2A_{потенц}=mgh_1-mgh_2

Aпотенц=mgh2mgh1A_{потенц}=mgh_2-mgh_1

Aпотенц=mghA_{потенц}=mgh

Итак, тогда наша сумма работ потенциальной и непотенциальной силы может быть записана в следующем виде:

Aравн=Aпотенц+Aнепотенц=Aнепотенц+mgh1mgh2A_{равн}=A_{потенц}+A_{непотенц}=A_{непотенц}+mgh_1-mgh_2.

Выше мы записали, что работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии. Поэтому верно следующее равенство:

Aравн=Aпотенц+Aнепотенц=Aнепотенц+mgh1mgh2=A_{равн}=A_{потенц}+A_{непотенц}=A_{непотенц}+mgh_1-mgh_2=

=mV222mV122=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2},

Aнепотенц+mgh1mgh2=mV222mV122A_{непотенц}+mgh_1-mgh_2=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}.

Перенесем все потенциальные энергии из левой части в правую:

Aнепотенц=mV222mV122mgh1+mgh2A_{непотенц}=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}-mgh_1+mgh_2.

Соберем "двойки" и "единички" в скобки — каждую в свою:

Aнепотенц=(mV222+mgh2)(mV122+mgh1)A_{непотенц}=(\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2)-(\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1).

Что такое mV22+mgh\frac{mV^2}{2}+mgh?

Это работа некоторой "разгоняющей" силы

Это полная механическая энергия

Это выражение для потенциальной энергии

Это выражение для кинетической энергии

И что же получается? Из выражения

Aнепотенц=(mV222+mgh2)(mV122+mgh1)A_{непотенц}=(\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2)-(\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1)

следует, что полная механическая энергия может изменяться. Ее можно как увеличивать, так и уменьшать. Все зависит от того, какая работа совершается непотенциальными силами: положительная или отрицательная.

Если вспомнить пример с ручкой, то полная механическая энергия уменьшилась. Можно было бы тогда записать:

Aнепотенц=0mV022A_{непотенц}=0-\frac{mV_0^2}{2}.

00 — это конечная кинетическая энергия ручки. mV022\frac{mV_0^2}{2} — начальная кинетическая энергия движения, которой обладала ручка. Потенциальная энергия ручки не менялась, потому что высота ручки на столе была постоянной.

Что за сила своей работой "изничтожила" запас кинетической энергии ручки? Давайте сделаем рисунок и приложим силы, которые действуют на ручку:

Всего будет три силы: сила трения Fтр\vec{F}_{тр}, сила тяжести mgm\vec{g} и сила реакции опоры N\vec{N}. Перемещение S\vec{S} направлено вправо.

Работа какой силы не будет равна нулю в этом случае?

Силы трения

Силы тяжести

Силы реакции опоры

Работа всех сил будет равна нулю

Работа силы трения совсем даже не равна нулю. А равна:

Aтр=FтрScos(180)=FтрSA_{тр}=F_{тр}\cdot S\cdot\cos(180^{\circ})=-F_{тр}\cdot S.

Работа силы трения отрицательна! Именно она уменьшила кинетическую энергию, сделав ее в конце вообще нулевой.

Aтр=FтрScos(180)=FтрS=0mV022A_{тр}=F_{тр}\cdot S\cdot\cos(180^{\circ})=-F_{тр}\cdot S=0-\frac{mV_0^2}{2},

FтрS=0mV022-F_{тр}\cdot S=0-\frac{mV_0^2}{2}.

Если использовать "бытовой" язык, то можно сказать, что сила трения просто "разбазарила" всю кинетическую энергию. Она ее "уничтожила".

А куда перешла кинетическая энергия?

Кинетическая энергия безвозвратно исчезла

Кинетическая энергия превратилась в тепло

Кинетическая энергия превратилась в отрицательную энергию "темных сил"

Кинетическая энергия перешла в потенциальную

А теперь перейдем ко второму нашему примеру, где бильярдный шар разгонялся нашей силой по гладкому столу. Нарисуем, какие силы действовали на шар в момент "разгона":

Напомним вам, что шар в результате "разгона" увеличил свою скорость — а значит, увеличил свою кинетическую энергию. Значит, работа какой-то силы увеличила кинетическую энергию. Интересно узнать, какой силы. Действовало три силы: внешняя разгоняющая сила F\vec{F}, сила тяжести mgm\vec{g} и сила реакции опоры N\vec{N}. Тело при этом перемещалось вправо, в направлении скорости.

Работа какой из сил не будет равна нулю в этом случае?

Внешней разгоняющей силы

Силы тяжести

Силы реакции опоры

Работа всех сил будет равна нулю

Работа внешней разгоняющей силы может быть вычислена по формуле

Aразгон=FScos(0)=FSA_{разгон}=F\cdot S\cdot\cos(0^{\circ})=F\cdot S.

И эта работа положительна. Все прекрасно логически стыкуется с увеличением скорости и увеличением кинетической энергии:

Aразгон=FScos(0)=FS=mV222mV122A_{разгон}=F\cdot S\cdot\cos(0^{\circ})=F\cdot S=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2},

FS=mV222mV122F\cdot S=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}.

Если резюмировать все вышеизложенное, то простыми словами можно было бы сказать, что

работа внешней силы как-то меняет полную механическую энергию: либо увеличивает Eполн.мех.E_{полн.мех.}, "добавляет" в систему энергии, либо "растрачивает" полную механическую энергию Eполн.мех.E_{полн.мех.}.

Порешаем задачи.

Кинетическая энергия некоторого тела увеличилась, а потенциальная — уменьшилась. Полная механическая энергия этого тела

Обязательно увеличилась

Обязательно уменьшилась

Осталась неизменной

Могла увеличиться, уменьшиться или остаться неизменной

Решим еще одну задачу.

Самолет массой 22 т движется в горизонтальном направлении со скоростью 5050 м/с. Находясь на высоте 420420 м, он переходит на снижение при выключенном двигателе и достигает дорожки аэродрома со скоростью 3030 м/с. Определить работу силы сопротивления воздуха во время планирующего полета. Ответ выразите в МДж — мегаджоулях.

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Задачи для самостоятельного решения: задача 1 и задача 2.

  • Понравилось?