Эта тема неразрывно связана с предыдущей темой "Кинетическая и потенциальная энергия". Фактически она является логическим и необходимым продолжением предыдущей темы.

Наверное, вы помните (а если не помните, то посмотрите тему "Кинетическая и потенциальная энергия"), что работа равнодействующей силы (то есть силы, являющейся векторной суммой всех сил, приложенных к телу) равна изменению (разности) кинетических энергий:

A=mV222mV122=Ek2Ek1A=\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}=E_{k2}-E_{k1}.

Если в системе действуют только потенциальные силы, то та же работа может быть расписана по другой формуле, которую мы тоже получили в предыдущей теме: работа потенциальной силы равна "минус" изменению потенциальной энергии (пусть это будет потенциальная энергия силы тяжести):

Amg=(mgh2mgh1)=mgh1mgh2A_{mg}=-(mgh_2-mgh_1)=mgh_1-mgh_2.

Но работа совершается одна и та же. Значит, работы можно приравнять:

A=AmgA=A_{mg},

mV222mV122=mgh1mgh2\frac{mV_2^2}{2}-\frac{mV_1^2}{2}=mgh_1-mgh_2.

Перенесем все слагаемые, у которых есть индекс 1, вправо, а все слагаемые с индексом 2 — влево:

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2=\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1.

И что мы видим? А мы видим то, что сумма кинетической и потенциальной энергии в первом состоянии равна сумме кинетической и потенциальной энергии во втором состоянии.

Как вы думаете, что это значит?

Да ничего это не значит

Это значит, что потенциальная энергия сохраняется

Это значит, что кинетическая энергия сохраняется

Это значит, что сумма кинетической и потенциальной энергии сохраняется

Сумма потенциальной и кинетической энергии носит особое название — название полной механической энергии.

Eполн.мех.=mV22+mghE_{полн.мех.}=\frac{mV^2}{2}+mgh.

Как правильно понять равенство

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2=\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1?

А понять можно следующим образом. Если тело переместилось из состояния 1 в состояние 2 и на тело действовали только потенциальные силы, а другие типы сил либо не действовали, либо их работы были равны нулю, то оказывается, что суммирование потенциальной и кинетической энергии в первом состоянии даст такой же результат, что и суммирование потенциальной и кинетической энергии во втором состоянии.

Например, пусть тело (неважно каким способом) переместилось из точки 1, которая находится на высоте h1h_1 и в которой тело имело скорость V1V_1, в точку 2, которая находится на высоте h2h_2 и в которой тело будет иметь скорость V2V_2:

Тогда будет справедливо равенство:

mV222+mgh2=mV122+mgh1\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2=\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1.

Это равенство называется законом сохранения полной механической энергии. Следует сказать, что в качестве потенциальной энергии может быть не только потенциальная энергия силы тяжести, но и потенциальная энергия растянутой/сжатой пружины или же сумма потенциальной энергии поля тяготения Земли и энергии деформированной пружины.

На приведенном выше рисунке видно, что высота h1>h2h_1>h_2. Что это означает? Это значит, что потенциальная энергия уменьшилась.

Как вы думаете, что будет происходить в этом случае с кинетической энергией? Выберите правильный вариант ответа.

Кинетическая энергия не изменится

Кинетическая энергия увеличится

Кинетическая энергия уменьшится

Непонятно, что будет с кинетической энергией

Такое развитие событий понятно для нас из нашего жизненного опыта. Если поднять мячик над Землей (то есть сообщить ему потенциальную энергию), а после — отпустить его, то в верхней точке потенциальная энергия максимальна, а начальная скорость шарика и, следовательно, кинетическая энергия равны нулю. По мере падения шарика высота уменьшается, а скорость его возрастает — при этом потенциальная энергия переходит в кинетическую. В самом низу (непосредственно перед ударом о землю) потенциальная энергия будет отсутствовать — она полностью перейдет в кинетическую энергию — в энергию движения.

Или же другой пример: заряженный детский пружинный пистолет с шариком внутри него.

Сжатая пружина обладает потенциальной энергией. Если пружина распрямится, то шарик приобретет скорость — потенциальная энергия полностью перейдет в кинетическую энергию.

После таких примеров становится понятным слово "потенциальный", "потенциальная". В обыденной жизни мы часто говорим, что, например, "потенциально этот человек мог бы быть лидером, мог бы сделать что-то" и т.д. То есть "потенциальная" энергия — это энергия возможности. Возможности перейти во что-то другое. Возможности совершить работу и перейти в кинетическую энергию, например. Итак, потенциальная энергия — это энергия возможностей.

Чтобы закон сохранения полной механической энергии стал понятнее, разберем несколько задач.

Задачи на закон сохранения полной механической энергии

Условие

Тело, брошенное вертикально вверх от поверхности Земли, достигло максимальной высоты 2020 м. С какой начальной скоростью тело было брошено вверх? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Шаг 1. Давайте сделаем рисунок. Это позволит нам лучше понять, что происходит в задаче.

Шаг 2. В задаче действовала только сила тяжести Земли (сопротивлением воздуха по условию задачи можно и нужно пренебречь). Значит, для решения можно попробовать использовать закон сохранения полной механической энергии:

mV122+mgh1=mV222+mgh2\frac{mV_1^2}{2}+mgh_1=\frac{mV_2^2}{2}+mgh_2.

Шаг 3. Из рисунка видно и из текста задачи понятно, что в нижнем положении была скорость, а высота была равна нулю. То есть была только кинетическая энергия. Высота была равна нулю — потенциальной энергии не было.

В верхней точки была "высота" — то есть была потенциальная энергия, а скорости не было — не было кинетической энергии. Поэтому наш закон сохранения полной механической энергии перепишется в следующем виде:

mV22+mg0=m(0)22+mgh\frac{mV^2}{2}+mg\cdot 0=\frac{m(0)^2}{2}+mgh,

mV22=mgh\frac{mV^2}{2}=mgh.

Шаг 4. Осталось только найти скорость из полученного нами равенства.

По какой формуле можно найти скорость?

V=2ghV=\sqrt{\frac{2g}{h}}

V=(2gh)2V=(2gh)^2

V=mgh2V=\sqrt{\frac{mgh}{2}}

V=2ghV=\sqrt{2gh}

Шаг 5. Найдем скорость:

V=2gh=210мс220м=400м2с2=20мсV=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 10\frac{м}{с^2}\cdot 20м}=\sqrt{400\frac{м^2}{с^2}}=20\frac{м}{с}.

Ответ. 2020 м/с.

Следующую задачу попробуйте решить самостоятельно, а потом посмотрите на наше решение.

Камень брошен вертикально вверх со скоростью v0=10v_0=10 м/с. На какой высоте hh кинетическая энергия камня равна его потенциальной энергии? Ответ выразите в метрах.

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Теперь разберем более сложную задачу.

Условие

Цирковой артист массой 6060 кг падает в натянутую сетку с высоты 44 м. С какой силой действует на артиста сетка, если она прогибается при этом на 11 м?

(Источник: Рымкевич А.П. Сборник задач по физике)

Решение

Шаг 1. Сделаем схематичный рисунок. Постараемся отметить некоторые характерные точки в падении.

В процессе падения можно условно выделить три состояния:

1 — человек находится на самой вершине; готов прыгнуть;

2 — человек падает и вот-вот коснется сетки;

3 — человек упал и прогнул сетку.

Шаг 2. Попробуем записать закон сохранения энергии для перемещения из точки 1 в точку 2.

Выберите правильный вариант закона сохранения энергии при перемещении из точки 1 в точку 2.

mgh=mV22mgh=\frac{mV^2}{2}

mgh=kx22mgh=\frac{k\cdot x^2}{2}

mg(h+x)=kx22mg(h+x)=\frac{k\cdot x^2}{2}

mgh=kx22+mV22mgh=\frac{k\cdot x^2}{2}+\frac{mV^2}{2}

Шаг 3. Однако это не всё. Цирковой артист продолжает падать дальше вниз, пока сетка не растянется настолько, что сможет остановить его. Это движение от точки 2 до точки 3.

Как будет выглядеть закон сохранения энергии при перемещении из точки 2 в точку 3?

mV22+mgx=0\frac{mV^2}{2}+mgx=0

mgh=kx22mgh=\frac{k\cdot x^2}{2}

mgx=kx22mgx=\frac{k\cdot x^2}{2}

mgx+mV22=kx22mgx+\frac{mV^2}{2}=\frac{k\cdot x^2}{2}

Шаг 4. Мы получили равенства

mgh=mV22mgh=\frac{mV^2}{2}

и

mV22+mgx=kx22\frac{mV^2}{2}+mgx=\frac{k\cdot x^2}{2}.

Заменим mV22\frac{mV^2}{2} во втором равенстве:

mgh+mgx=kx22mgh+mgx=\frac{k\cdot x^2}{2},

mg(h+x)=kx22mg(h+x)=\frac{k\cdot x^2}{2}.

Примечание. Это равенство можно было получить быстрее, приравняв полную механическую энергию системы "артист-сетка" в точках 1 и 3 (даже без анализа точки 2).

Шаг 5. В задаче нас спрашивают про силу, с которой сетка действует на артиста.

Выберите правильную формулу силы упругости.

F=k+xF=k+x

F=kxF=\frac{k}{x}

F=kxF=k\cdot x

F=xkF=\frac{x}{k}

Шаг 6. Из условия задачи нам не известна жесткость kk сетки. Давайте выразим ее и подставим в наш закон сохранения энергии:

k=Fx,mg(h+x)=kx22k=\frac{F}{x},\,\,\,mg(h+x)=\frac{k\cdot x^2}{2},

mg(h+x)=Fxx22mg(h+x)=\frac{\frac{F}{x}\cdot x^2}{2},

mg(h+x)=Fx2mg(h+x)=\frac{F\cdot x}{2},

Fx2=mg(h+x)\frac{F\cdot x}{2}=mg(h+x),

F=2mg(h+x)xF=\frac{2mg(h+x)}{x}.

Подставим численные значения:

F=2mg(h+x)x=260 кг10мс2(4 м+1 м)1 м=12005 Н=6000 НF=\frac{2mg(h+x)}{x}=\frac{2\cdot 60\text{ кг}\cdot 10\frac{м}{с^2}(4\text{ м}+1\text{ м})}{1\text{ м}}=1200\cdot 5\text{ Н}=6000\text{ Н}.

Ответ. F=6000F=6000 Н.

Напоследок разберем задачу из части 3 ЕГЭ.

Условие

На гладкой горизонтальной плоскости стоит гладкая горка высотой H=24H=24 см и массой M=1M=1 кг, а на ее вершине лежит небольшая шайба массой m=200m=200 г (см. рисунок). После легкого толчка шайба соскальзывает с горки и движется перпендикулярно стенке, закрепленной в вертикальном положении на плоскости. С какой скоростью vv шайба приближается к стенке на плоскости?

(Источник: ЕГЭ-2010. Физика. Диагностическая работа 2, задание С2)

Решение

Шаг 1. Прежде всего, давайте подумаем, почему шайба начинает двигаться. Если она начинает двигаться — значит, у нее появляется скорость VV. Если есть скорость, то есть и кинетическая энергия Ek=mV22E_k=\frac{m\cdot V^2}{2}.

По какой причине у шайбы появляется кинетическая энергия?

Кинетическая энергия возникает у шайбы потому, что у нее есть желание "двигаться"

Кинетическая энергия возникает у шайбы из потенциальной энергии относительно Земли

Кинетическая энергия возникает у шайбы из-за того, что ее "толкает" горка

Кинетическая энергия возникает из-за превращения в нее потенциальной энергии силы упругости пружины

Шаг 2. Сделаем рисунок, который покажет, как будут развиваться события в этой системе.

Что самое интересное на этом рисунке? То, что горка начинает тоже двигаться с какой-то своей скоростью. Почему она двигается? В условии написано, что горка стоит на гладкой плоскости, то есть может скользить по ней. Грубо говоря, горку на плоскости ничего не держит. Нет никакого упора, который бы препятствовал движению горки.

Напомним, что по закону сохранения импульса, если суммарный импульс "до" был нулевой — то и "после" он должен остаться таким же. Шайба приобрела скорость — приобрела импульс. Чтобы суммарный импульс системы "горка-шайба" остался нулевым, нужно, чтобы горка приобрела "противо-импульс", который был бы направлен противоположно импульсу шайбы и полностью его компенсировал бы.

Шаг 3. Запишем закон сохранения полной механической энергии для этой системы тел.

Как правильно записать закон сохранения механической энергии для этой системы?

mgH=mV22mgH=\frac{mV^2}{2}

mgH=mV22+MU22mgH=\frac{mV^2}{2}+\frac{MU^2}{2}

mV22=mU22\frac{mV^2}{2}=\frac{mU^2}{2}

mgH=mU22mgH=\frac{mU^2}{2}

Шаг 4. Вроде бы все готово для того, чтобы найти скорость шайбы из закона сохранения полной механической энергии. Но откуда взять скорость горки?

Как можно найти скорость горки?

Из закона сохранения импульса

Скорость горки равна нулю — двигается ведь только шайба

Скорость горки такая же, как и у шайбы, чтобы в целом все было "как бы" неподвижно

В задаче не хватает данных. Нужна какая-то дополнительная информация

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме. Выберите правильный вариант ответа.

0=mV+MU0=m\vec{V}+M\vec{U}

mV=MUm\vec{V}=M\vec{U}

0=mVMU0=m\vec{V}-M\vec{U}

0=mVMU0=m\vec{V}\cdot M\vec{U}

Теперь надо переписать закон сохранения импульсов в проекциях на ось OXOX.

Какой из вариантов записи закона сохранения импульсов в проекциях на ось OXOX правильный?

0=mV+MU0=mV+MU

0=mVMU0=mV-MU

0=mV+MU0=-mV+MU

0=mVMU0=-mV-MU

Шаг 5. Собираем всё вместе.

0=mVMUmV=MUU=mVM0=mV-MU\,\,\Rightarrow\,\,mV=MU\,\,\Rightarrow\,\,U=\frac{mV}{M}.

Подставим выражение для UU в закон сохранения полной механической энергии:

mgH=mV22+MU22mgH=mV22+M(mVM)22mgH=\frac{mV^2}{2}+\frac{MU^2}{2}\,\,\Rightarrow\,\,mgH=\frac{mV^2}{2}+\frac{M(\frac{mV}{M})^2}{2}\,\,\Rightarrow

mgH=mV22+Mm2V22M2mgH=mV22+m2V22M\Rightarrow\,\,mgH=\frac{mV^2}{2}+\frac{Mm^2V^2}{2M^2}\,\,\Rightarrow\,\,mgH=\frac{mV^2}{2}+\frac{m^2V^2}{2M}\,\,\Rightarrow

gH=V22+mV22MgH=V22(1+mM)\Rightarrow\,\,gH=\frac{V^2}{2}+\frac{mV^2}{2M}\,\,\Rightarrow\,\,gH=\frac{V^2}{2}(1+\frac{m}{M})\,\,\Rightarrow

V2=2gH(1+mM)V=2gH(1+mM)\Rightarrow\,\,V^2=\frac{2gH}{(1+\frac{m}{M})}\,\,\Rightarrow\,\,V=\sqrt{\frac{2gH}{(1+\frac{m}{M})}}.

Шаг 6. Подставим числа:

V=2gH(1+mM)=210м/с20,24м1+0,2кг1кг=2 м/сV=\sqrt{\frac{2gH}{(1+\frac{m}{M})}}=\sqrt{\frac{2\cdot 10м/с^2\cdot 0,24м}{1+\frac{0,2кг}{1кг}}}=2\text{ }м/с.

Задачи для самостоятельного решения: #закон сохранения энергии

  • Понравилось?
    +1
  • 1