Импульс тела. Что это такое? Зачем это нужно? Очень и очень даже справедливые вопросы. Действительно, зачем нужен этот импульс тела? У нас и так достаточно величин, которые описывают движение тела:

  • начальная скорость
  • равнодействующая всех сил, приложенных к телу
  • ускорение тела, связанное с равнодействующей.

Все верно. Но оказывается, что с помощью импульса тела иногда удобнее описывать движение тела. Сейчас мы рассмотрим пример, из которого вам станет ясно, что такое импульс тела и чем он хорош.

В обыденной жизни нам привычно характеризовать движение тела скоростью. Чем больше скорость у, допустим, велосипедиста - тем больше в нем сосредоточено "движения". Если бы велосипедист врезался в небольшой забор на садовом участке, забор бы пострадал. Чем больше была бы скорость велосипедиста, тем сильнее пострадал бы забор. Но не все определяется скоростью.

Представьте себе, что со скоростью V=10V=10 м/с едет велосипедист. А рядом, параллельно с ним, едет тяжеленный грузовик, кузов которого набит кирпичами. И грузовик тоже едет со скоростью V=10V=10 м/с.

Отличаются ли друг от друга два этих случая: движение велосипедиста и движение грузовика? Ведь они едут с одинаковой скоростью. Будут ли отличаться последствия, если велосипедист врежется в забор или грузовик врежется в забор? Да, конечно. В случае грузовика последствия будут более разрушительными для забора.

Что это значит? Что только скоростью характеризовать движение тела не очень удобно. Очень логично в свете приведенного примера с грузовиком и велосипедистом выглядит величина импульс тела:

p=mV.\vec{p}=m\cdot\vec{V}{.}

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на скорость тела.

Ну ооочень логичное определение. Чем больше скорость и чем больше масса тела, тем более "разрушительные" последствия могут быть от действий этого тела. Это объяснение "на пальцах".

Примечательно то, что ранее, в советское время, импульс тела называли количеством движения. Очень сочное и яркое определение. То есть импульс (количество движения) показывает, как много движения "запасено" в теле. Получается, что одинаковое количество движения запасено в легкой пуле, летящей с огромной скоростью, и в тяжеленном вагоне трамвая, плетущегося с мизерной скоростью.

Хочется отметить, что импульс тела — это векторная величина. И импульс тела p\vec{p} сонаправлен со скоростью тела V\vec{V}:

p=mV\vec{p}=m\cdot\vec{V}.

Для импульса нет специальной единицы измерения (вакантное место — можете предложить свою фамилию в качестве кандидата на роль единицы измерения импульса). Импульс по-простому измеряется в кгмскг\cdot\frac{м}{с}:

[p]=кгмс[p]=кг\cdot\frac{м}{с}.

Рассмотрим пример.

Масса танка m1=40m_1=40 тонн, масса самолета m2=50m_2=50 тонн. Самолет движется со скоростью v=216v=216 км/ч. Отношение импульса самолета к импульсу танка равно 55. Чему равна скорость танка? Ответ выразите в км/ч.

(Источник: сайт reshuege.ru)

Отлично. С этим закончили.

Импульс силы

Теперь нам надо поговорить об импульсе силы. Вспомним 2-й закон Ньютона:

F=ma\vec{F}=m\cdot\vec{a}.

Немного преобразуем его, используя определение ускорения:

F=ma=mV2V1Δt=mV2mV1Δt=p2p1Δt=ΔpΔt\vec{F}=m\cdot\vec{a}=m\cdot\frac{\vec{V}_2-\vec{V}_1}{\Delta t}=\frac{m\vec{V}_2-m\vec{V}_1}{\Delta t}=\frac{\vec{p}_2-\vec{p}_1}{\Delta t}=\frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}.

Или:

FΔt=Δp\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p}.

Величина FΔt\vec{F}\cdot\Delta t носит название импульс силы. Редкая штука. Очень редко используется, но составители ЕГЭ, бывает, подлавливают недотошных школьников именно на задачах на импульс силы.

Из формулы видно, что действие силы изменяет импульс тела: изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело.

Формула FΔt=Δp\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p} очень логичная. Представьте, что вы хотите ускорить тело — то есть увеличить его скорость, или (что в данном случае то же самое) увеличить импульс тела. Согласно формуле FΔt=Δp\vec{F}\cdot\Delta t=\Delta\vec{p} вы можете сделать это двумя способами

  • подействовать большой силой F\vec{F} в течение короткого периода Δt\Delta t; фактически это получается "удар";
  • или же подействовать слабой силой F\vec{F}, но уже в течение длительного времени Δt\Delta t: тело придется долго и нудно толкать, если сила у вас "слабенькая".

Рассмотрим задачу.

Тело движется по прямой. Под действием постоянной силы величиной 22 Н за 33 с модуль импульса тела увеличился и стал равен 15 кгм/с15\text{ }кг\cdot м/с. Найдите первоначальный импульс тела (в кгм/скг\cdot м/с).

(Источник: сайт reshuege.ru)

Закон сохранения импульса

Импульс вводился не случайно. Оказывается, импульс тела никуда не девается — он сохраняется. Мы предлагаем вам убедиться в этом. Рассмотрим простой случай — столкновение двух шаров.

То, что будет происходить между этими двумя шарами, можно изобразить на рисунке. При этом можно выделить три этапа:

  • ситуация "до" (до столкновения)
  • само столкновение
  • ситуация "после" (после столкновения).

"До": шары летели навстречу друг к другу; "после": шары разлетелись после столкновения; столкновение: шары действовали друг на друга.

Нам интересен момент столкновения. Первый шар действует на второй с силой F21\vec{F}_{21}, а второй шар действует на первый с силой F12\vec{F}_{12}. По 3-му закону Ньютона эти силы равны друг другу по модулю и противоположны по направлению:

F21=F12\vec{F}_{21}=-\vec{F}_{12}.

Домножим это равенство на длительность столкновения Δt\Delta t:

F21Δt=F12Δt\vec{F}_{21}\cdot\Delta t=-\vec{F}_{12}\cdot\Delta t.

У нас получились импульсы сил, действующие на каждое из тел. Мы помним, импульс силы равен изменению импульса тела. Можем записать:

Δp2=Δp1\Delta\vec{p}_2=-\Delta\vec{p}_1.

Распишем изменение импульсов тел. Буквой VV будем обозначать скорости до столкновения, а буквой UU — скорости после столкновения.

m2(U2V2)=m1(U1V1)m_2(\vec{U}_2-\vec{V}_2)=-m_1(\vec{U}_1-\vec{V}_1).

Если отбросить знак "минус", то изменения импульсов тел равны друг другу. Можно заметить интересную вещь: если два тела разной массы сталкиваются, то скорость более легкого тела (с меньшей массой) в результате столкновения изменится сильнее.

Продолжаем наши преобразования:

m2U2m2V2=(m1U1m1V1)m_2\vec{U}_2-m_2\vec{V}_2=-(m_1\vec{U}_1-m_1\vec{V}_1),

m2U2m2V2=m1U1+m1V1m_2\vec{U}_2-m_2\vec{V}_2=-m_1\vec{U}_1+m_1\vec{V}_1,

m2U2+m1U1=m2V2+m1V1m_2\vec{U}_2+m_1\vec{U}_1=m_2\vec{V}_2+m_1\vec{V}_1.

Что получилось? Получился закон сохранения импульса.

Закон сохранения импульса. Векторная сумма импульсов тел до взаимодействия равна векторной сумме импульсов тел после взаимодействия:
векторная сумма того, что было "до" = векторная сумма того, что стало "после".

Небольшое дополнение. Мы рассматривали ситуацию, в которой не было никаких внешних сил: никто "извне" не действовал на шары. Закон сохранения импульса справедлив для случая, когда внешние силы не действуют на систему тел или же действие внешних сил скомпенсировано. Такие системы тел называются замкнутыми.

Порешаем задачки.

Условие

Одинаковые шары движутся с одинаковыми по модулю скоростями в направлениях, указанных стрелками на рисунке, и абсолютно неупруго соударяются.

Как будет направлен импульс шаров после их столкновения?

  1. \swarrow
  2. \leftarrow
  3. \downarrow
  4. \nwarrow

(Источник: ЕГЭ-2014. Физика. Досрочный этап. Вариант 1)

Решение

Начнем с того, что поясним, что такое "неупругий удар". Неупругий удар или столкновение — это столкновение, которое приводит к "слипанию" соударяющихся тел. При неупругом ударе не выполняется закон сохранения механической энергии. Но об этом в следующих темах. В этой задаче для нас важно то, что после соударения тела будут двигаться вместе — "слипнутся".

В задаче говорится о том, что было "до", а спрашивается про то, что стало "после". Даны направления скоростей. Очень похоже на то, что это задача на закон сохранения импульса. Что мы знаем из него? Мы знаем, что в замкнутой системе тел векторная сумма импульсов тел "до" соударения равна векторной сумме импульсов тел "после":

m1U1+m2U2=m1V1+m2V2m_1\vec{U}_1+m_2\vec{U}_2=m_1\vec{V}_1+m_2\vec{V}_2.

В нашем случае m1=m2=mm_1=m_2=m, а после столкновения шары "слипаются", поэтому закон сохранения импульса примет вид

mU1+mU2=2mVm\vec{U}_1+m\vec{U}_2=2m\vec{V},

где V\vec{V} — скорость совместного движения шаров после столкновения, а U1\vec{U}_1 и U2\vec{U}_2 — скорости шаров до столкновения. Направление импульса шаров после столкновения, о котором спрашивается в задаче, — это направление вектора 2mV2m\vec{V}.

Как его найти? Направление вектора в правой части равенства совпадает с направлением вектора в левой части равенства. Попробуем сложить импульсы шаров до столкновения, чтобы получить векторную сумму импульсов и определить ее направление.

Направления импульсов до столкновения нам известны (направления импульсов совпадают с направлениями скоростей, а они указаны на рисунке). Так как шары были одинаковыми и двигались с одинаковыми скоростями, модули импульсов шаров были равны. Складываем векторы импульсов по правилу параллелограмма.

Видно, что суммарный импульс направлен влево. По закону сохранения импульса в ситуации "после" суммарный импульс будет направлен точно так же. Значит, подходит ответ 2).

Ответ. 2) \leftarrow

Решим еще одну задачу.

Условие

Мальчик массой 5050 кг находится на тележке массой 5050 кг, движущейся по гладкой горизонтальной дороге со скоростью 11 м/с. Каким станет модуль скорости тележки, если мальчик прыгнет с нее со скоростью 22 м/с относительно дороги в направлении, противоположном первоначальному направлению движения тележки? Ответ выразите в м/с.

(Источник: ЕГЭ-2013. Физика. Реальный экзамен)

Решение

Шаг 1. Мы думаем, что вы согласитесь с тем, что без рисунка непросто представить, что именно происходит в этой задаче. Давайте сделаем рисунок. У нас на рисунке будут изображены две ситуации: ситуация "до" и ситуация "после". На рисунке кроме самих предметов нужно также указать направление скоростей и ось, на которую мы будем проецировать эти скорости. Должно получиться что-то вроде этого:

Шаг 2. Отлично! Теперь можно записать закон сохранения импульса в векторной форме.

Запишем закон сохранения импульса в векторной форме. Выберите правильный вариант.

(m+M)U=MV1mV2(m+M)\vec{U}=M\vec{V}_1-m\vec{V}_2

MU=MV1+mV2M\vec{U}=M\vec{V}_1+m\vec{V}_2

MU=MV1mV2M\vec{U}=M\vec{V}_1-m\vec{V}_2

(m+M)U=MV1+mV2(m+M)\vec{U}=M\vec{V}_1+m\vec{V}_2

Шаг 3. Далее нужно записать полученное уравнение в проекциях на выбранную ось OXOX.

Как в данной задаче будет выглядеть закон сохранения импульса, записанный в проекциях на ось OXOX?

(m+M)U=MV1+mV2(m+M)U=MV_1+mV_2

(m+M)U=MV1mV2(m+M)U=MV_1-mV_2

(m+M)U=MV1+mV2-(m+M)U=-MV_1+mV_2

(m+M)U=MV1+mV2(m+M)U=-MV_1+mV_2

Шаг 4. Осталось последнее: выразить скорость тележки V1V_1 после прыжка мальчика.

Выберите правильную формулу скорости тележки после прыжка мальчика.

V1=(m+M)U+mV2mV_1=\frac{(m+M)U+mV_2}{m}

V1=(m+M)UmV2MV_1=\frac{(m+M)U-mV_2}{M}

V1=(m+M)U+mV2MV_1=\frac{(m+M)U+mV_2}{M}

V1=(m+M)U+mV2MV_1=\frac{-(m+M)U+mV_2}{M}

Шаг 5. Подставим значения масс и скоростей:

V1=(m+M)U+mV2M=(50кг+50кг)1м/с+50кг2м/с50кг=V_1=\frac{(m+M)U+mV_2}{M}=\frac{(50кг+50кг)\cdot 1м/с+50кг\cdot 2м/с}{50кг}=

=100кгм/с+100кгм/с50кг=200кгм/с50кг=4м/с=\frac{100кг\cdot м/с+100кг\cdot м/с}{50кг}=\frac{200кг\cdot м/с}{50кг}=4м/с.

Ответ. 44 м/с.

В качестве резюме приведем общую схему решения задач на закон сохранения импульса:

  1. Сделать рисунок с указанием векторов скоростей и масс тел; ввести ось (или оси для двумерного движения) для проецирования.
  2. Записать закон сохранения импульса в векторной форме.
  3. Записать этот же закон сохранения импульса в проекциях на выбранную ось (оси).
  4. Решать.

Задачи для самостоятельного решения: #импульс тела, #импульс силы

  • Понравилось?
    +4