Иррациональное уравнение — это уравнение с неизвестным под знаком корня. Иррациональное уравнение может иметь вид f(x)=g(x)\sqrt{f(x)}=g(x) или f(x)=g(x),\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}, где f(x)f(x) и g(x)g(x) — это рациональные выражения. При этом корень в условии уравнения может быть не только квадратным, а корнем любой степени nn.

  • Найдите область допустимых значений (ОДЗ).
  • Если в условии уравнения есть корни четной степени (в т.ч. обычный квадратный корень f(x)\sqrt{f(x)}), то выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.
  • Если в условии уравнения есть дробь, то ее знаменатель не должен равняться 00.
  • Получите рациональное уравнение, возведя обе части уравнения в квадрат (или в другую степень в зависимости от того, корень какой степени содержится в условии).
  • Решите полученное рациональное уравнение.
  • Проверьте, что корни уравнения лежат в его области определения.

Решим уравнение 4814x=x\sqrt{-48-14x}=-x.

ОДЗ:1)4814x014x481)\,\,\,\,-48-14x\ge 0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,-14x\ge 48\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x4814=247;\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x\le -\frac{48}{14}=-\frac{24}{7};2)x0x0.2)\,\,\,\,-x\ge 0\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x\le 0. Условие 2)2) возникает по той причине, что x-x равен квадратному корню, а значение квадратного корня всегда неотрицательно. Из условий 1)1) и 2)2) получаем ОДЗ x247x\le-\frac{24}{7}, так как в этом случае выполняется и x0x\le0.

Возведем обе части уравнения в квадрат: 4814x=x2x2+14x+48=0.-48-14x=x^2\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x^2+14x+48=0.Дискриминант равен D=1424148=196192=4D=14^2-4\cdot 1\cdot 48=196-192=4.
Корни равны x1=1422=8x_1=\frac{-14-2}{2}=-8 и x2=14+22=6.x_2=\frac{-14+2}{2}=-6.

Оба корня лежат в области определения уравнения (6=427247-6=-\frac{42}{7}\le -\frac{24}{7}).

Ответ: 6-6 и 8-8.