Квадратичная функция

Логарифмическая функция

Показательная функция

О чем задача?

Задачи на поиск точек экстремума, а также наибольших и наименьших значений функций без помощи производных. Как правило, исследуемая функция является композицией квадратичной функции и любой монотонной функции, в частности f(x)=xf(x)=\sqrt{x}, f(x)=logax\,\,f(x)=\log_a x и f(x)=axf(x)=a^x.

Найдите наименьшее значение функции y=log3(x226x+898)8y=\log_3 (x^2-26x+898)-8.

Как решать?

Шаг 1. Представьте исследуемую функцию в виде композиции двух функций

Сначала необходимо убедиться в том, что вы исследуете функцию, точки экстремума которой можно найти без помощи производной. Для этого представьте исходную функцию y=h(x)y=h(x) в виде y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x)). Если функция y=f(u)y=f(u) монотонна, а функция u=g(x)u=g(x) — квадратичная или любая другая функция, точки экстремума которой вы можете найти без производной, то и для исследования исходной функции y=h(x)y=h(x) производная вам не потребуется.

В нашем случае y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x)), где y=f(u)=log3u8y=f(u)=\log_3 u - 8 — монотонная функция, а u=g(x)=x226x+898u=g(x)=x^2-26x+898 — квадратичная функция.

Шаг 2. Найдите точку максимума или минимума функции u=g(x)u=g(x)

Так как функция y=f(u)y=f(u) монотонна, исходная функция y=h(x)=f(g(x))y=h(x)=f(g(x)) достигает максимума или минимума в той же точке, что и функция u=g(x)u=g(x).

Если функция u=g(x)u=g(x) квадратичная, то есть имеет вид u=ax2+bx+cu=ax^2+bx+c, то она имеет точку экстремума при x=b2ax=-\frac{b}{2a}. Это точка максимума, если a<0a\lt 0, и точка минимума, если a>0a\gt 0.

Функция u=g(x)=x226x+898u=g(x)=x^2-26x+898 достигает минимума при x=262=13x=-\frac{-26}{2}=13.

Это и есть решение задач на поиск точек максимума и минимума.

Шаг 3. Вычислите наибольшее или наименьшее значение функции

Этот шаг надо выполнить только в задачах на поиск наибольшего или наименьшего значения функции.

Найдем значение исходной функции y=log3(x226x+898)8y=\log_3 (x^2-26x+898)-8 при x=13x=13.
Сначала вычислим значение g(13)=1322613+898=1322132+898=898169=729.g(13)=13^2-26\cdot 13+898=13^2-2\cdot 13^2+898=898-169=729.Теперь вычислим значение ymin=log37298=log3(36)8=68=2.y_{\min}=\log_3 729 -8=\log_3 (3^6)-8=6-8=-2. Наименьшее значение функции равно 2-2.

  • Понравилось?