Монотонная функция

Возрастающая функция на отрезке [a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)f(x_1)\lt f(x_2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)f(x2)f(x_1)\le f(x_2) функция называется неубывающей на отрезке.

Убывающая функция на отрезке [a,b][a,b] (или интервале, или множестве) — это такая функция f(x)f(x), что для любых x1<x2x_1\lt x_2 из отрезка (интервала, множества) выполняется неравенство f(x1)>f(x2)f(x_1)\gt f(x_2). В случае выполнения нестрогого неравенства f(x1)f(x2)f(x_1)\ge f(x_2) функция называется невозрастающей на отрезке.

Если функция является убывающей или возрастающей, то она называется монотонной функцией.

Пример: функция y=lnxy=\ln x является возрастающей.
Пример: функция y=3x+2y=-3x+2 является убывающей.

Точки экстремума

x0x_0точка максимума функции f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек xx верно неравенство f(x)f(x0)f(x)\le f(x_0).

x0x_0точка минимума функции f(x)f(x), если для всех достаточно близких точек верно неравенство f(x)f(x0)f(x)\ge f(x_0).

Точка экстремума — это точка максимума либо точка минимума функции.

Признак возрастания и убывания функции

Функция f(x)f(x) возрастает на промежутке (a;b)(a;b), если производная f(x)>0f'(x)\gt 0 на этом промежутке.

Функция f(x)f(x) убывает на промежутке (a;b), если производная f(x)<0f'(x)\lt 0 на этом промежутке.

Признаки максимума и минимума функции

Если функция f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b), возрастает на промежутке (a;x0)(a;x_0) и убывает на промежутке (x0;b)(x_0;b), то x0x_0 является точкой максимума функции.

Признак максимума функции выполняется, если:

  • f(x)>0f'(x)\gt 0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)
  • f(x)=0f'(x)=0 в точке x0x_0
  • f(x)<0f'(x)\lt 0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)

Если функция f(x)f(x) непрерывна на промежутке (a;b)(a; b), убывает на промежутке (a;x0)(a;x_0) и возрастает на промежутке (x0;b)(x_0;b), то x0x_0 является точкой минимума функции.

Признак минимума функции выполняется, если:

  • f(x)<0f'(x)\lt 0 на промежутке (a;x0)(a; x_0)
  • f(x)=0f'(x)=0 в точке x0x_0
  • f(x)>0f'(x)\gt 0 на промежутке (x0;b)(x_0; b)

Критическая точка

Точка, в которой производная функции равна нулю.

В критических точках касательная является горизонтальной линией, так как тангенс угла наклона касательной (значение производной в точке касания) равен нулю.

Три типа критических точек:

x1x_1 – точка локального минимума, является точкой экстремума;

x2x_2 – точка перегиба, НЕ является точкой экстремума.

x3x_3 – точка локального максимума, является точкой экстремума;

Как искать точки максимума и минимума функции

Задачи на нахождение точек экстремума функции решаются по стандартной схеме в 33 шага.

Шаг 1. Найдите производную функции

y(x)=(x3243x+19)=3x2243.y'(x)=(x^3-243x+19)'=3x^2-243.

Шаг 2. Найдите нули производной

3x2243=0x2=81x1=9,x2=9.3x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=9.

Шаг 3. Найдите точки экстремума

Применим этот подход, чтобы решить следующую задачу:

Найдите точку максимума функции y=x3243x+19y=x^3-243x+19.
1) Найдем производную: y(x)=(x3243x+19)=3x2243;y'(x)=(x^3-243x+19)'=3x^2-243;
2) Решим уравнение y(x)=0y'(x)=0: 3x2243=0x2=81x1=9,x2=93x^2-243=0 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x^2=81 \,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\, x_1=-9, \,\,\,\, x_2=9
3) Производная положительная при x>9x\gt 9 и x<9x\lt -9 и отрицательная при 9<x<9.-9\lt x\lt 9. Поэтому x=9x=-9 — точка максимума.

Как искать наибольшее и наименьшее значение функции

Для решения задачи на поиск наибольших и наименьших значений функции необходимо:

  • Найти точки экстремума функции на отрезке (интервале).
  • Найти значения в концах отрезка и выбрать наибольшее или наименьшее величину из значений в точках экстремума и в концах отрезка.

Во многих задачах помогает теорема:

Если на отрезке только одна точка экстремума, причем это точка минимума, то в ней достигается наименьшее значение функции. Если это точка максимума, то в ней достигается наибольшее значение.

  • Понравилось?