Чтобы найти производную функции, необходимо последовательно сделать следующие шаги:

  • Определить, на какие простые функции разбивается исходная функция:

Функцию f(x)=sinx1x2f(x)=\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2} } можно представить в виде f=g(h1,h2)f=g(h_1,h_2), где g(x,y)=xyg(x,y)=\frac{x}{y}, h1(x)=sinxh_1(x)=\sin x, h2(x)=1x2h_2(x)=\sqrt{1-x^2}.

f(x)=(sinx1x2)=sinx1x2sinx(1x2)(1x2)2=f'(x)=(\frac{\sin x}{\sqrt{1-x^2} })'=\frac {\sin'x\sqrt{1-x^2}-\sin x(\sqrt{1-x^2})'}{(\sqrt{1-x^2})^2}==cosx1x2122xsinx(1x2)11x2==\frac{\cos x\sqrt{1-x^2}-\frac{1}{2}\cdot 2x\sin x(\sqrt{1-x^2})^{-1} }{1-x^2}==cosx1x2xsinx(1x2)3=\frac{\cos x}{\sqrt{1-x^2} }-\frac{x\sin x}{(\sqrt{1-x^2})^3}

Правила дифференцирования

Пусть uu и vv - дифференцируемые функции, а CC - любое действительное число.

(C)=0(C)'=0 – производная константы;

(u+v)=u+v(u+v)'=u'+v' – производная суммы;

(Cu(x))=C(u(x))(Cu(x))'=C(u(x))' – вынесение константы;

(uv)=uv+uv(u\cdot v)'=u'v+uv' – производная произведения;

(uv)=uvvuv2(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2} – производная частного;

(f(g(x)))=g(x)f(g(x))(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x)) – производная сложной функции.

(cosx2)=(x2)cosx2=2x(sinx2)=2xsinx2.(\cos{x^2})'=(x^2)'\cdot \cos'{x^2}=2x\cdot (-\sin{x^2})=-2x\sin x^2 .

Таблица производных

ФункцияПроизводнаяВажные частные случаи
Константа (число) (C)=0(C)'=0
Линейная (kx+b)=k(kx+b)'=k x=1x'=1
Степенная (xa)=axa1(x^a)'=ax^{a-1} (x2)=2x(x^2)'=2x
Показательная (ax)=axlna(a^x)'=a^x\cdot \ln a (ex)=ex(e^x)'=e^x
Логарифмическая (logax)=1xlna(\log_a x)'=\frac{1}{x\cdot \ln a} (lnx)=1x(\ln x)'=\frac{1}{x}
Тригонометрические

(sinx)=cosx(\sin x)'=\cos x

(cosx)=sinx(\cos x)'=-\sin x

(tgx)=1cos2x(\text{tg} x)'=\frac{1}{\cos^2 x}

(ctgx)=1sin2x(\text{ctg} x)'=-\frac{1}{\sin^2 x}


Обратные

тригонометрическим

(arcsinx)=11x2(\text{arcsin} x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(arccosx)=11x2(\text{arccos} x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

(arctgx)=11+x2(\text{arctg} x)'=\frac{1}{1 + x^2}

(arcctgx)=11+x2(\text{arcctg} x)'=-\frac{1}{1 + x^2}



  • Понравилось?