О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

а) Решите уравнение sinx(2sinx3ctgx)=3\sin x(2\sin x-3\text{ctg} x)=3.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π2;π2][-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}].

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

В первую очередь найдите область определения уравнения.

Функция sinx\sin x определена на всей числовой оси, а функция ctgx\text{ctg} x определена, когда sinx0\sin x \neq 0 (поскольку ctgx=cosxsinx\text{ctg} x= \frac{\cos x}{\sin x} ), то есть xπkx\neq \pi k, где kk — любое целое число. Мы нашли область определения уравнения: xπkx\neq \pi k, где kk — любое целое число.

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

  • Приведение уравнения к виду квадратного уравнения путем замены переменной;
  • Разложение на множители, то есть приведение уравнения к виду (asinxb)(ccosxd)=0(a\sin x-b)(c\cos x-d)=0 (в таком уравнении может быть сколько угодно множителей, а вместо sinx\sin x и cosx\cos x могут быть и другие тригонометрические функции).

Раскроем скобки: sinx(2sinx3ctgx)=3sinx(2sinx3cosxsinx)=3 \sin x(2\sin x-3\text{ctg} x)=3 \,\,\Leftrightarrow \,\,\sin x(2\sin x-3\frac{\cos x}{\sin x})=3 \,\, \Leftrightarrow \,\, 2sin2x3cosx=3.\Leftrightarrow \,\ 2\sin^2 x-3 \cos x=3{.} Выразим sin2x\sin^2 x из основного тригонометрического тождества: sin2x=1cos2x\sin^2 x=1-\cos^2 x. Тогда 22cos2x3cosx=32cos2x+3cosx+1=0.2-2\cos^2 x-3\cos x=3 \,\,\Leftrightarrow \,\,2\cos^2 x+3\cos x+1=0{.}
Сделаем замену переменной. Пусть cosx=t\cos x=t. Наше уравнение свелось к квадратному уравнению 2t2+3t+1=0.2t^2+3t+1=0{.}
Воспользовавшись формулой корней квадратного уравнения, получаем два корня: t1=1t_1=-1 и t2=12t_2=-\frac{1}{2}.

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [cosx=1,cosx=12.\left[\begin{array}{l} \cos x = -1 {,}\\\cos x = -\frac{1}{2} {.}\end{array}\right.

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье.

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Решим совокупность простейших тригонометрических уравнений, полученную на предыдущем шаге. Заметим, что корни уравнения cosx=1\cos x =-1 не принадлежат области определения исходного уравнения, потому что при cosx=1\cos x =-1 имеем sinx=0\sin x=0 (а при sinx=0\sin x =0 функция ctgx\text{ctg} x в исходном уравнении не определена).

Остается решить уравнение cosx=12\cos x =-\frac{1}{2}.

Вспомним, что cosπ3=12\cos \frac{\pi }{3} =\frac{1}{2}.

Тогда по формулам приведенияcos(ππ3)=cos2π3=12\cos (\pi -\frac{\pi }{3})=\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}, следовательно arccos(12)=2π3\text{arccos} (-\frac{1}{2})=\frac{2\pi }{3}.

Получим решение уравнения: x=±2π3+2πk,x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k{,} где kk — целое число.

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно kk.

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Начнем с серии x=2π3+2πkx=\frac{2\pi }{3}+2\pi k. При k=0k=0 корень x=2π3x=\frac{2\pi }{3} не попадает в заданный отрезок, потому что 2π3>π2\frac{2\pi }{3} \gt \frac{\pi }{2}. При k=1k=-1 корень x=2π32π=4π3x=\frac{2\pi }{3}- 2\pi =-\frac{4\pi }{3} попадает в заданный отрезок, потому что 3π2<4π3 -\frac{3\pi }{2} \lt -\frac{4\pi }{3} . Это единственный корень в этой серии, принадлежащий нужному отрезку.

Теперь рассмотрим серию x=2π3+2πkx=-\frac{2\pi }{3} + 2\pi k. При k=0k=0 корень x=2π3x=-\frac{2\pi }{3} попадает в заданный отрезок. Других корней, принадлежащих нашему отрезку, в этой серии корней нет (это следует из того, что длина отрезка составляет 2π 2\pi, а период серии решений также равен 2π 2 \pi; значит, если один из корней серии находится внутри отрезка, все остальные корни из этой серии уже не попадают в отрезок).

Итак, отрезку [3π2;π2][-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}] принадлежат корни x=4π3x=- \frac{4\pi }{3} и x=2π3x=- \frac{2\pi }{3}.

  • Понравилось?
    +1