О чем задача?

Задачи на доказательство утверждений, поиск углов и расстояний в пространстве, а также на определение площадей сечений различных многогранников. В задании 14 требуется не только указать ответ, но и написать решение. Как правило, в задаче два вопроса. В первом вопросе вас просят доказать какое-либо утверждение, а во втором – найти величину угла, расстояние или площадь сечения.

Пример вопроса на площадь сечения
В правильной треугольной пирамиде SABCSABC с основанием ABCABC проведено сечение через середины ребер ABAB и BCBC и вершину SS. Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 77, а сторона основания равна 88.

Как решать?

В отличие от более простого задания 8 в этой задаче часто приходится выполнять дополнительные построения, определять форму сечений.

Шаг 1. Сведите задачу к задаче в плоскости

Найдите недостающие элементы плоской фигуры.Во многих задачах сначала требуется выполнить дополнительное построение, чтобы искомые элементы находились в одной плоскости.

Найдем стороны MSN\bigtriangleup MSN: MN=AC2=4MN=\frac{AC}{2}=4 как средняя линия треугольника ABC\bigtriangleup ABC; SN=SM=SB2BN2=72(82)2=33SN=SM=\sqrt{SB^2-BN^2}=\sqrt{7^2-(\frac{8}{2})^2}=\sqrt{33}. Теорему Пифагора можно использовать, поскольку в равнобедрненном треугольнике ASB\bigtriangleup ASB медиана SNSN также является высотой.

Шаг 2. Используйте теоремы планиметрии, чтобы найти ответ

Чаще всего используются теоремы

Поскольку нам известны все стороны треугольника, мы можем применить формулу Герона для нахождения площади: SSMN=p(pSM)(pSN)(pMN)S_{\bigtriangleup SMN}=\sqrt{p(p-SM)(p-SN)(p-MN)}, где p=33+2p=\sqrt{33}+2 — полупериметр. Имеем:SMNS=(33+2)22(332)=2334=229.S_{\bigtriangleup MNS}=\sqrt{(\sqrt{33}+2)\cdot 2\cdot 2\cdot (\sqrt{33}-2)}=2\sqrt{33-4}=2\sqrt{29} .

  • Понравилось?