О чем задача?

Решение неравенства или системы из двух неравенств. Зачастую неравенства являются логарифмическими или показательными.

Решите систему неравенств: {123x9x110,logx(2x)4<8.\left\{\begin{array}{lr} 12\cdot 3^x-9^x-11\ge 0,\\ \log_{\sqrt{x}}(2-x)^4 \lt 8{.}\end{array}\right.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

В первую очередь найдите область определения неравенств системы.

Помните, что показательная функция определена на всей числовой оси, а логарифмическая функция logg(x)f(x)\log_{g(x)} f(x) определена, если f(x)>0f(x)\gt 0 и g(x)>0g(x)\gt 0, g(x)1g(x)\neq 1.

Первое неравенство системы содержит показательные функции, определенные на всей числовой оси. Второе неравенство содержит логарифмическую функцию, определенную при {(2x)4>0,x>0,x1{(2x)40,x>0,x1{x2,x>0,x1\left\{\begin{array}{lr} (2-x)^4\gt 0,\\ \sqrt{x}\gt 0,\\ \sqrt{x}\neq 1 \end{array}\right.\,\,\Leftrightarrow \,\,\left\{\begin{array}{lr} (2-x)^4\neq 0,\\ x\gt 0,\\ x\neq 1 \end{array}\right. \,\,\Leftrightarrow \,\,\left\{\begin{array}{lr} x\neq 2,\\ x\gt 0,\\ x\neq 1 \end{array}\right. Область определения можно представить в виде (0;1)(1;2)(2;+)(0;1)\cup (1;2)\cup (2;+\infty).

Шаг 2. Поочередно решите все неравенства системы

При решении неравенств применяйте следующие стандартные приемы:

Продемонстрируем метод замены переменной на примере первого неравенства системы. Осуществим замену переменной: t=3xt=3^x. Получим неравенство 12tt211012t-t^2-11\ge 0. Решим его: t212t+110(t1)(t11)01t11.t^2-12t+11\le 0\,\,\Leftrightarrow \,\,(t-1)(t-11)\le 0\,\,\Leftrightarrow \,\,1\le t\le 11. Получаем 13x11303x3log3110xlog3111\le 3^x\le 11\,\,\Leftrightarrow\,\,3^0\le 3^x\le 3^{\log_3 11}\,\,\Leftrightarrow\,\,0\le x\le \log_3 11.

Применим формулы действия с логарифмами, чтобы упростить второе неравенство. Подойдет формула logaq(xp)=pqlogax\log_{a^q}(x^p)=\frac{p}{q}\log_a x. Преобразуем левую часть неравенства: logx(2x)4=(4:12)logx2x=8logx2x.\log_{\sqrt{x}}(2-x)^4=(4:\frac{1}{2})\log_x |2-x|=8\log_x|2-x|. Тогда неравенство можно переписать в виде 8logx2x<8logx2x<1.8\log_x |2-x|\lt 8\,\,\Leftrightarrow \,\,\log_x |2-x|\lt 1.
Решим неравенство logx2x<1\log_x |2-x|\lt 1: logx2x<1logx2x<logxx\log_x {|2-x|}\lt 1\,\,\Leftrightarrow \,\,\log_x |2-x|\lt \log_x x\,\,\Leftrightarrow \,\,[2x<x, если x>1,2x>x, если x принадлежит (0;1).\left[\begin{array}{lr}{|2-x|}\lt x \text{, если }x\gt 1,\\{|2-x|}\gt x \text{, если }x \text{ принадлежит }(0;1){.}\end{array}\right. Выражение 2x|2-x| равно 2x2-x, если x<2x\lt 2, и равно x2x-2, если x2x\ge 2. Получим следующую совокупность неравенств: [x2<x, если x>2,2x<x, если x принадлежит (1;2),2x>x, если x принадлежит (0;1).\left[\begin{array}{lr} x-2\lt x \text{, если }x\gt 2,\\2-x\lt x \text{, если }x \text{ принадлежит }(1;2),\\2-x\gt x \text{, если }x \text{ принадлежит }(0;1).\end{array}\right. Все три неравенства всегда выполняются на соответствующих интервалах. Поэтому решение второго неравенства совпадает с его областью определения:(0;1)(1;2)(2;+).(0;1)\cup (1;2)\cup (2;+\infty ).

Шаг 3. Найдите пересечение области определения и решений обоих неравенств системы

Представьте область определения и решения обоих неравенств в виде объединения интервалов числовой оси. Найдите пересечение этих множеств, то есть такое множество, которое принадлежало бы и области определения, и решению каждого из неравенств.

Область определения: (0;1)(1;2)(2;+)(0;1)\cup (1;2)\cup (2;+\infty ). Решение первого неравенства: [0;log311][0;\log_3 11]. Решение второго неравенства: (0;1)(1;2)(2;+)(0;1)\cup (1;2)\cup (2;+\infty ). Найдем пересечение этих множеств. Заметим, что log311>log39=2\log_3 11 \gt \log_3 9 = 2. Решение системы: (0;1)(1;2)(2;log311](0;1)\cup (1;2)\cup (2;\log_3 11].

  • Понравилось?