Квадратное неравенство — это неравенство, которое можно привести к виду ax2+bx+c0ax^2+bx+c\le 0 (или 0\ge 0) или к виду ax2+bx+c<0ax^2+bx+c\lt 0 (или >0\gt 0), где a0a\neq 0.

Шаг 1. Если коэффициент при x2x^2 отрицательный, умножьте левую и правую части неравенства на 1-1, чтобы получить положительный коэффициент при x2x^2. При этом знак неравенства изменится (например, с <\lt на >\gt и наоборот).

Шаги 2 и 3 позволяют решить неравенство при a>0a\gt 0.

Шаг 2. Сначала следует решить квадратное уравнение ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0. Возможны 33 случая:

  • Случай А. Уравнение имеет два корня x1x_1 и x2x_2.
  • Случай Б. Уравнение не имеет корней.
  • Случай В. Уравнение имеет только один корень x1x_1.

Шаг 3. Решим неравенство.

Случай А (уравнение имеет два корня)

  • Решением неравенства ax2+bx+c0ax^2+bx+c\le 0 являются xx в интервале между x1x_1 и x2x_2 (предполагаем, что x1<x2x_1\lt x_2);
  • Решением неравенства ax2+bx+c0ax^2+bx+c\ge 0 являются [xx1,xx2.\left[\begin{array}{lr}x\le x_1,\\x\ge x_2{.}\end{array}\right.

Чтобы не запутаться в этих вариантах, представьте себе параболу. На графике изображена парабола при a>0a\gt 0, то есть парабола "рогами вверх".

Там, где график параболы находится над осью xx, значение ax2+bx+c>0ax^2+bx+c\gt 0. Там, где график параболы находится под осью xx, значение ax2+bx+c<0ax^2+bx+c\lt 0. Здесь мы применили метод интервалов.

Случай Б

Если у уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 нет корней, то знак выражения ax2+bx+cax^2+bx+c одинаков при любых значениях xx. Так как при x=0ax2+bx+c=cx=0\;ax^2+bx+c=c, то знак этого выражения совпадает со знаком cc.

  • Если при x=0x=0 неравенство выполняется, то неравенство выполняется при любых значениях xx. В этом случае решение неравенства — это (;+)(-\infty ;+\infty ), то есть вся числовая ось.
  • Если при x=0x=0 неравенство не выполняется, то оно не выполняется ни при одном значении xx. В этом случае у неравенства нет решений (решение — пустое множество \emptyset).

Случай В

Если у уравнения ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 есть ровно один корень x1x_1, то

  • неравенство вида ax2+bx+c0ax^2+bx+c\ge 0 выполняется при любых значениях xx. В этом случае решение неравенства — это (;+)(-\infty ;+\infty ), то есть вся числовая ось.
  • неравенство вида ax2+bx+c>0ax^2+bx+c\gt 0 выполняется при любых значениях xx, кроме x1x_1, так как при x=x1x=x_1 выражение ax2+bx+cax^2+bx+c равно 00. Тогда решение неравенства — это объединение двух интервалов (;x1)(-\infty ;x_1) и (x1;+)(x_1;+\infty ).
  • неравенство вида ax2+bx+c0ax^2+bx+c\le 0 выполняется только при x=x1x=x_1
  • неравенство вида ax2+bx+c<0ax^2+bx+c\lt 0 не выполняется ни при одном значении xx. В этом случае у неравенства нет решений (решение — пустое множество \emptyset).
  • Понравилось?