Определение

Уравнение вида ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 называется квадратным уравнением.

Величина D=b24acD=b^2-4ac называется дискриминантом. От знака дискриминанта зависит, есть ли корни у квадратного уравнения.

Решение квадратного уравнения

  • Если дискриминант D=b24ac0D=b^2-4ac\ge 0, то уравнение ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 имеет корни:

x1=bD2a,x2=b+D2a.x_1=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a},\,\,\,\, x_2=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} {.} Заметим, что если D=0D=0, то уравнение имеет единственный корень x1=b2ax_1=-\frac{b}{2a}.

  • Если D<0D\lt 0, то корней нет.

Решим уравнение 2x2+3x20=02x^2+3x-20=0.
Сначала вычислим дискриминант: D=3242(20)=9+160=169D=3^2-4\cdot 2\cdot (-20)=9+160=169. Заметим, что 169=132169=13^2.
Корни уравнения равны x1=316922=3134=164=4x_1=\frac{-3-\sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-3-13}{4}=-\frac{16}{4}=-4 и x2=3+16922=3+134=104=2,5x_2=\frac{-3+\sqrt{169}}{2\cdot 2}=\frac{-3+13}{4}=\frac{10}{4}=2,5.
У уравнения два корня: x1=4x_1=-4 и x2=2,5x_2=2,5.

Приведенное квадратное уравнение

Приведенное квадратное уравнение — квадратное уравнение, у которого коэффициент при x2x^2 равен единице: x2+px+q=0x^2+px+q=0.

x24x+4=0x^2-4x+4=0 — приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета

Если x1,x2x_1, x_2 — корни уравнения x2+px+q=0x^2 + px + q = 0, то x1+x2=p;x1x2=q.x_1 + x_2 = -p;\,\,\,\, x_1 x_2 = q{.}

Это означает, что приведенные квадратные уравнения можно решать, не используя формулы корней квадратного уравнения с дискриминантом, а подбирая такие числа x1x_1 и x2x_2, что x1+x2=px_1+x_2=-p, а x1x2=qx_1x_2=q.

Решим уравнение x220x+99=0x^2-20x+99=0.
Представим число 9999 в виде произведения пары чисел. Это могут быть числа 9999 и 11, 3333 и 33, 1111 и 99, а также те же пары чисел с противоположными знаками. Среди этих пар чисел выберем такую пару, числа которой в сумме дают 2020. Это 1111 и 99. Это и есть корни уравнения. Вы можете проверить эти корни подстановкой.

Полный квадрат

Полный квадрат — это выражение вида (ax+b)2(ax+b)^2.

В квадратном трехчлене x2+px+qx^2+px+q можно выделить полный квадрат: x2+px+q=(x+p2)2+qp24x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2+q-\frac{p^2}{4}.

Если дискриминант квадратного уравнения x2+px+q=0x^2+px+q=0 равен 00 (то есть D=p24q=0D=p^2-4q=0), то x2+px+q=(x+p2)2x^2+px+q=(x+\frac{p}{2})^2 и это квадратное уравнение имеет единственный корень x1=p2x_1=-\frac{p}{2}.

Решим уравнение x2+6x+9=0x^2+6x+9=0.
Дискриминант этого уравнения равен D=6249=3636=0D=6^2-4\cdot 9=36-36=0. Значит, x2+6x+9=(x+3)2x^2+6x+9=(x+3)^2 (чтобы в этом убедиться, раскройте скобки, применив формулу квадрата суммы). Уравнение имеет единственный корень x1=3x_1=-3:x2+6x+9=0(x+3)2=0x+3=0x=3.x^2+6x+9=0\Leftrightarrow (x+3)^2=0\Leftrightarrow x+3=0\Leftrightarrow x=-3{.}