Колебания грузика массы mm на пружине, имеющей жесткость kk, описываются дифференциальным уравнением mx¨+kx=0m\ddot{x}+kx=0 или, в эквивалентной форме,
x¨+ω2x=0,\ddot{x}+\omega^{2}x=0{,}

где ω=km\omega=\sqrt{\frac{k}{m}} – циклическая (круговая) частота колебаний системы. ω=2πν\omega=2\pi\nu, ν\nu – частота колебаний системы.

В этой формуле x¨=xtt\ddot{x}=x_{tt}^{\prime\prime} – вторая производная от координаты по времени – это ускорение грузика.

Период колебаний грузика на пружине определяется формулой
T=2πmkT=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Общий вид решения этого дифференциального уравнения задается функцией:
x(t)=Asin(ωt+φ0)x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_{0})

Здесь ω\omega – круговая частота колебаний, φ0\varphi_{0} – начальная фаза, AA – амплитуда (максимальное отклонение точки) колебаний, xx – координата точки.

Константы AA и φ0\varphi_{0} связаны с начальными значениями координаты и скорости соотношениями
A=ω2x02+v02ω2A=\sqrt{\frac{\omega^{2}x_{0}^{2}+v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}tgφ0=ωx0v0\text{tg}\,\varphi_{0}=\frac{\omega x_{0}}{v_{0}}

Подробнее.

  • Понравилось?