Материальная точка (грузик, размерами которого можно пренебречь), закрепленная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая малые колебания вблизи положения равновесия, называется математическим маятником.

Колебания математического маятника описываются уравнением
x¨+glx=0,\ddot{x}+\frac{g}{l}x=0{,}

где ll – длина нити,

gg – ускорение свободного падения,

xx – горизонтальное смещение грузика от положения равновесия.

Или, в эквивалентной форме,
x¨+ω2x=0,\ddot{x}+\omega^{2}x=0{,}

где ω=gl\omega=\sqrt{\frac{g}{l}} – циклическая (круговая) частота колебаний системы. ω=2πν\omega=2\pi\nu, ν\nu – частота колебаний системы.

Период колебаний математического маятника определяется формулой
T=2πlgT=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

x¨=xtt\ddot{x}=x_{tt}^{\prime\prime} – вторая производная от координаты по времени – ускорение грузика.

Общий вид решения этого дифференциального уравнения задается функцией:
x(t)=Asin(ωt+φ0)(1)x(t)=A\sin(\omega t+\varphi_{0})\,\,\,\,(1)

Здесь ω\omega – круговая частота колебаний, φ0\varphi_{0} – начальная фаза, AA – амплитуда (максимальное отклонение точки) колебаний, xx – линейная координата материальной точки. Для малых углов ψ\psi отклонения маятника от положения равновесия справедливо соотношение x=lψx=l\psi. Поэтому уравнение (1) можно записать и для угла отклонения маятника.

Константы AA и φ0\varphi_{0} связаны с начальными значениями координаты и скорости соотношениями
A=ω2x02+v02ω2A=\sqrt{\frac{\omega^{2}x_{0}^{2}+v_{0}^{2}}{\omega^{2}}}tgφ0=ωx0v0\text{tg}\,\varphi_{0}=\frac{\omega x_{0}}{v_{0}}


Для математического маятника следует чётко отличать начальный угол отклонения ψ0\psi_{0} и начальную фазу колебаний φ0\varphi_{0}. Если ψ\psi – угол отклонения маятника от положения равновесия – ψ(t)=Asin(ωt+φ0)\psi(t)=A\sin(\omega t+\varphi_{0}), то ψ0=ψmaxsinφ0\psi_{0}=\psi_{max}\sin\varphi_{0}


Подробнее.

  • Понравилось?
  • 1