Конус — это тело, которое получается при объединении всех отрезков, соединяющих точки круга (основание конуса) с вершиной конуса.

Прямой конус — это конус, вершина которого лежит на прямой, перпендикулярной основанию и проходящей через центр основания. Эта прямая называется осью прямого конуса.

Высота конуса — это отрезок, проведенный из вершины конуса к основанию перпендикулярно основанию конуса. Отрезок, который соединяет вершину конуса с окружностью в основании, называется образующей конуса.

В задачах ЕГЭ рассматривается в основном прямой конус.

Прямой конус можно получить, если из бумажного круга вырезать сектор (с любым углом от 00 до 2π2\pi), потом свернуть его в рупор, склеить по разрезу, а круглое отверстие закрыть кругом.

Если ll — длина образующей конуса, hh — высота конуса, а rr — радиус основания конуса, то

  • Объем конуса: V=13πr2hV=\frac{1}{3}\pi r^2h,
  • Площадь боковой поверхности конуса: Sбок=πrlS_{бок}=\pi rl,
  • Площадь полной поверхности: S=πr(r+l)S=\pi r(r+l),
  • Образующая конуса: l=h2+r2l=\sqrt{h^2+r^2}.

Заметим, что формула объема конуса очень похожа на формулу объема пирамиды. Это следует из того, что конус — это, по сути, та же пирамида, только вместо многоугольника в основании находится круг.

Формула для образующей конуса следует из теоремы Пифагора. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого — это высота конуса и радиус основания конуса. Поэтому также верны формулы: h=l2r2h=\sqrt{l^2-r^2} и r=l2h2r=\sqrt{l^2-h^2}.

Формулу площади боковой поверхности можно получить, если рассмотреть развертку его боковой поверхности на плоскость. Она представляет собой сектор круга радиуса ll. При развертке вершина конуса переходит в центр круга, образующая — в его радиус, а окружность основания — в дугу сектора. Длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса: 2πr2\pi r. Обозначим радианную меру угла сектора через α\alpha. Тогда длина его дуги равна αl\alpha l, а площадь равна 12αl2\frac{1}{2} \alpha l^2. Тогда αl=2πr\alpha l=2\pi r. Значит, α=2πrl\alpha =\frac{2\pi r}{l}. Тогда площадь сектора равна 122πrll2=πrl\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi r}{l} \cdot l^2=\pi rl.

Пользуясь формулами, решите следующие задачи:

Чему равна площадь поверхности конуса с образующей 33 и радиусом основания 11?

π\pi

Чему равен объем конуса, описанного вокруг правильной шестиугольной пирамиды, сторона основания которой равна 33, а боковое ребро — 55? (Вершины основания вписанной пирамиды лежат на окружности основания конуса, а вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса.)

π\pi

Задачи для самостоятельного решения: #конус

  • Понравилось?
  • 1