Коэффициент полезного действия (КПД) | LAMPA - платформа для публикации учебных материалов

Коэффициент полезного действия… Очень интересное название.

«Коэффициент» – значит, какое-то число.
«Полезного действия» – значит, есть некоторое действие и оно «полезно» для кого-то; тогда, по-видимому, существует также и «неполезное» действие.

Рассмотрим КПД сначала на бытовом примере. Допустим, вы хотите купить грецких орехов. Так получилось, что вы купили $50$ орехов. Когда вы начали их колоть и есть – оказалось, что $20$ из этих грецких орехов – пустые. «Полезными» (нужными) оказались только $30$ орехов из $50$ . Тогда «эффективность» (коэффициент полезного действия) для вашей покупки грецких орехов можно подсчитать как

$\eta = \frac{30\text{ орехов}}{50\text{ орехов}} = \frac{3}{5} = 0,6 = 60 \%$ .

Аналогично «устроен» КПД в механике. КПД фактически показывает долю полезной работы от общей совершенной работы:

$\eta = \frac{A_{полез.}}{A_{затр.}} \cdot 100 \%$ .

Например, вы равномерно затаскиваете груз по наклонной плоскости. Тащите равномерно. Тогда работа вашей силы «тратится» на увеличение потенциальной энергии и на противодействие работе силы трения:

$A = |F_{тр.} \cdot S| + mgh$ .

Пояснение – вывод формулы $A = |F_{тр.} \cdot S| + mgh$

Формулу $A = |F_{тр.} \cdot S| + mgh$ можно получить, если использовать закон сохранения энергии в присутствии внешних сил. Вспомним, что работа внешних сил равна изменению полной механической энергии:

$A_\text{внешних сил} = E_\text{полная мех. 2} - E_\text{полная мех. 1}$ .

Внешними силами являются две силы: сила, которая тянет груз наверх, и сила трения. Тогда работа внешних сил равна сумме работ этих сил:

$A_\text{внешних сил} = A_\text{тянущая наверх сила} + A_\text{сила тр.}$ .

При этом полная механическая энергия меняется только за счёт увеличения потенциальной энергии (скорость остаётся постоянной, кинетическая энергия никак не меняется – а потому никак не фигурирует в законе сохранения):

$E_\text{полная мех. 2} - E_\text{полная мех. 1} = mgh - 0$ .

Тогда можно записать:

$A_\text{тянущая наверх сила} + A_\text{сила тр.} = mgh - 0$ .

Как можно записать работу силы трения?

$A_\text{сила тр.} = F_{тр.} \cdot S$ .

$A_\text{сила тр.} = \frac{F_{тр.}}{S}$ .

$A_\text{сила тр.} = - F_{тр.} \cdot S$ .

$A_\text{сила тр.} = mgh$ .

Тогда – с учётом работы силы трения – можно переписать наше исходное равенство:

$A_\text{тянущая наверх сила} - F_{тр.} \cdot S = mgh - 0$ .

Или:

$A_\text{тянущая наверх сила} = F_{тр.} \cdot S + mgh$ .

Дополнительно для красоты можно «накинуть» на выражение для работы силы трения модуль – тогда всё точно будет положительно:

$A_\text{тянущая наверх сила} = |F_{тр.} \cdot S| + mgh$ .

Полезным для вас является только «затаскивание» груза на высоту $h$ – повышение потенциальной энергии груза. Тогда КПД в этом случае можно записать как

$\eta = \frac{A_{полез.}}{A_{затр.}} \cdot 100 \% = \frac{mgh}{|F_{тр.} \cdot S| + mgh} \cdot 100 \%$ .

Обратите внимание, что у КПД есть некоторое максимальное значение.

Чему равно максимальное значение КПД?

$50 \%$

$100 \%$

$200 \%$

$1000 \%$

Разберем задачу.

Условие

Для определения КПД наклонной плоскости использовано оборудование, изображённое на рисунке. Ученик с помощью динамометра поднимает брусок с двумя грузами равномерно вдоль наклонной плоскости. Данные эксперимента, записанные учеником, приведены ниже. Чему равен КПД наклонной плоскости? Ответ выразите в процентах.

Показания динамометра при подъёме груза, Н – 1,5
Длина наклонной плоскости, м – 1,0
Масса бруска с двумя грузами, кг – 0,22
Высота наклонной плоскости, м – 0,15

Выберите номер правильного варианта ответа.

$10 \%$
$22 \%$
$45 \%$
$100 \%$

(Источник: сайт решуегэ.рф)

Решение

Шаг 1. Давайте вспомним формулу для КПД.

Выберите правильную формулу КПД:

$\eta = \frac{A_{затр.}}{A_{полез.}} \cdot 100 \%$ .

$\eta = (A_{полез.} - A_{затр.}) \cdot 100 \%$ .

$\eta = (A_{полез.} \cdot A_{затр}) \cdot 100 \%$ .

$\eta = \frac{A_{полез.}}{A_{затр.}} \cdot 100 \%$ .

Шаг 2. Теперь определим, что для нас полезная работа.

Что является полезной работой? Выберите правильный вариант ответа:

перемещение вдоль линейки.

наше созерцание (созерцание – это тоже работа).

увеличение потенциальной энергии груза – то есть, его поднятие.

ускорение груза.

Тогда можем записать: $A_{полез.} = mgh$ .

Как видно – в условии задачи есть все величины: и масса, и высота поднятия.

Шаг 3. Выясним, кто или что совершал(о) полную работу: и полезную, и неполезную (то есть затраченную).

Выберите правильный вариант ответа:

Cила трения.

Cила тяги динамометра.

Cила реакции опоры.

Я (читатель) совершал работу, читая всё, что тут понаписано; устал я уже это читать.

Шаг 4. Нам надо найти «затраченную» работу силы тяги. Для этого надо вспомнить формулу, по которой можно найти работу.

По какой формуле можно вычислить «затраченную» работу силы тяги?

Составьте правильную формулу.

Шаг 5. Все необходимые величины даны в условии задачи. Осталось последнее – вычислить КПД.

$\eta = \frac{A_{полез.}}{A_{затр.}} \cdot 100 \% = \frac{mgh}{F \cdot l} \cdot 100 \% =$

$= \frac{0,22 кг \cdot 10 м/с^2 \cdot 0,15 м}{1,5 Н \cdot 1,0 м} \cdot 100 \% = 22 \%$ .

Правильный ответ: 2) $22 \%$ .

Задачи для самостоятельного решения: #кпд