Логарифмическое уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную под знаком логарифма или в его основании.

Логарифмическое уравнение в ЕГЭ может иметь вид logbh(x)=logck(x),\log_b h(x)= \log_c k(x), или logbh(x)=d,\log_b h(x)=d, или logh(x)b=d\log_{h(x)}b=d при b>0b\gt 0, b1b\neq1 и с>0с\gt 0, c1c\neq1.

  • Выпишите область определения уравнения. Уравнение вида logbh(x)=logck(x)\log_b h(x)= \log_c k(x) определено при h(x)>0h(x)\gt 0 и k(x)>0k(x)\gt 0
  • Приведите левую и правую части уравнения к одному основанию, так чтобы оно приняло вид logaf(x)=logag(x)\log_a f(x)=\log_a g(x).
  • Примените метод отбрасывания логарифмов.
  • Решите уравнение f(x)=g(x)f(x)=g(x).
  • Проверьте, что корни уравнения лежат в его области определения.
  • В некоторых случаях удобнее напрямую воспользоваться определением логарифма. Уравнение logbh(x)=d\log_b h(x)=d можно привести к виду h(x)=bdh(x)=b^d.

Решим уравнение log0,21x+21=log5(x3)+log5(x4)\log_{0,2} \frac{1}{x+21}=\log_5 (x-3)+\log_5(x-4).

Уравнение определено, если 1x+21>0\frac{1}{x+21}\gt 0, при этом x3>0x-3\gt 0 и x4>0x-4\gt 0. Заметим, что при x>4x\gt 4 все три неравенства выполняются. Поэтому область определения: x>4x\gt 4.

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основание левой части равно 0,2=15=510,2=\frac{1}{5}=5^{-1}. Воспользовавшись формулами действия с логарифмами, преобразуем левую часть log0,21x+21=1log51x+21=log5(x+21).\log_{0,2} \frac{1}{x+21}=-1\cdot \log_5 \frac{1}{x+21} =\log_5 (x+21). Также используя формулы действия с логарифмами, перепишем правую часть log5(x3)+log5(x4)=log5(x3)(x4)=log5(x27x+12).\log_5 (x-3)+\log_5(x-4)=\log_5 {(x-3)(x-4)}=\log_5 (x^2-7x+12).
Мы привели обе части уравнения к основанию 55: log5(x+21)=log5(x27x+12).\log_5 (x+21)=\log_5 (x^2-7x+12).
Применив метод отбрасывания логарифмов, получаем x27x+12=x+21x28x9=0.x^2-7x+12=x+21\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x^2-8x-9=0.Дискриминант равен D=(8)241(9)=64+36=100=102D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+36=100=10^2.
Корни равны x1=8102=1x_1=\frac{8-10}{2}=-1 и x2=8+102=9.x_2=\frac{8+10}{2}=9.

Корень x1=1x_1=-1 лежит вне области определения уравнения.

Ответ: 99.

Метод отбрасывания логарифмов

Уравнение вида logaf(x)=logag(x)\log_a {f(x)} =\log_a {g(x)}, где a>0a\gt 0 и a1a\neq 1, можно упростить:

из logaf(x)=logag(x)\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} следует, что f(x)=g(x)f(x)=g(x).

То есть для решения logaf(x)=logag(x)\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)} достаточно решить уравнение f(x)=g(x)f(x)=g(x), а потом исключить корни, в которых логарифм не определен. Логарифм не определен, когда f(x)0f(x)\le 0 или g(x)0g(x)\le 0.

При проверке корней достаточно убедиться, что хотя бы одно из неравенств f(x)>0f(x)\gt 0 или g(x)>0g(x)\gt 0 выполняется. Второе неравенство будет выполняться автоматически, поскольку f(x)=g(x)f(x)=g(x). Поэтому если одна из функций f(x)f(x) и g(x)g(x) положительна для всех xx, то уравнения logaf(x)=logag(x)\log_a f(x)=\log_a g(x) и f(x)=g(x)f(x)=g(x) эквивалентны. То есть проверка корней не требуется.

log3(6x+4)=log396x+4=9\log_3 (6x+4) =\log_3 9 \,\Leftrightarrow \, 6x+4=9, поскольку 9>09\gt 0 при любом xx.

  • Понравилось?