logab\log_a bлогарифм числа bb по основанию aa, где a,b>0a,b\gt 0, a1a\neq 1 — это такое число cc, что выполняется соотношение ac=ba^c =b.

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию ee. Обозначается lnx\ln x.

Формулы действия с логарифмами

Если a,b,x,y>0a,b,x,y\gt 0 и a,b1a,b\neq 1, то выполняются равенства

loga1=0,logaa=1\log_a 1= 0, \,\,\,\, \log_a a =1;

alogax=xa^{\log_a x}=x — основное логарифмическое тождество;

loga(xy)=logax+logay\log_a (xy)=\log_a x+\log_a y — логарифм произведения;

logaxy=logaxlogay\log_a \frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y — логарифм частного;

loga(xp)=plogax\log_a (x^p)=p\log_a x — логарифм степени;

logaq(xp)=pqlogax\log_{a^q}(x^p)={\frac{p}{q}}\log_a x, где q0q\neq 0;

logab=1logba\log_a b=\frac{1}{\log_b a};

logax=logbxlogba\log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a} — формула перехода к новому основанию.