Математический маятник

По-простому, математический маятник – это некоторый грузик, подвешенный на нити, который «качается» из стороны в сторону.

В теме «Математический маятник» важными оказываются две вещи:

  1. циклическая частота, период и частота колебаний математического маятника
  2. превращения энергии при колебаниях математического маятника.

1. Циклическая частота, период и частота колебаний математического маятника

С помощью математики можно узнать и доказать, что величины TT, ν\nu, ω\omega (период, частота и циклическая частота) для математического маятника зависят только от длины нити маятника ll и от ускорения свободного падения gg. Это подтверждается и жизнью, в чём мы частично попробуем убедиться чуть позже.

Попробуем понять, как зависят величины TT, ν\nu, ω\omega от длины нити маятника ll и от ускорения свободного падения gg.

Как вы думаете, если удлинить нить маятника, то как изменится циклическая частота (или же просто частота колебаний – фактически – быстрота колебаний) маятника?

Частота увеличится.

Частота уменьшится.

Частота не изменится.

Как будет меняться частота – неизвестно, слишком мало данных.

А как вы думаете, как зависит циклическая частота (или же просто частота – быстрота колебаний) маятника от ускорения свободного падения gg? Что произойдёт, если сила притяжения Земли увеличится (можем искусственно увеличить её, положив снизу под шариком магнит, который будет сильнее притягивать шарик)?

Как изменится частота, если сила притяжения Земли увеличится?

Частота увеличится.

Частота уменьшится.

Частота не изменится.

Как будет меняться частота – неизвестно, слишком мало данных.

Итак, при увеличении длины нити ll циклическая частота ω\omega уменьшается, а при увеличении ускорения свободного падения gg – увеличивается.

Как вы думаете, какая из формул может правильно выражать зависимость ω\omega от ll и gg?

ω=lg\omega = \sqrt{\frac{l}{g}}

ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}

ω=gl\omega = \sqrt{g \cdot l}

ω=1gl\omega = \sqrt{\frac{1}{g \cdot l}}

Итак: ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}.

Строго эту формулу можно вывести только в ВУЗе, зная о том, что такое дифференциальные уравнения, и умея их решать.

Обратите внимание, что в случае математического маятника совсем не важна масса шарика. Только длина нити.

Из формулы ω=2πT\omega = \frac{2 \pi}{T} можно получить:

ω=2πTωT=2πT=2πω\omega = \frac{2 \pi}{T} \,\Rightarrow\, \omega \cdot T = 2 \pi \,\Rightarrow\, T = \frac{2 \pi}{\omega}\,\Rightarrow

T=2πglT=2πlg\Rightarrow\, T = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{g}{l}}} \,\Rightarrow T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

Заметим, что в формулах T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} и ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} величины ll и gg «меняются» местами. Бывает трудно запомнить, какая из величин ll и gg наверху дроби, а какая внизу. Для того чтобы справиться с этой сложностью, можно вспомнить, что происходит с колебаниями маятника, если увеличивать или уменьшать длину нити.

Если вспомнить ещё одну формулу ν=1T\nu = \frac{1}{T}, то можно получить следующее:

ν=12πlgν=12πgl\nu = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}} \Rightarrow \nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}.

Эти формулы надо просто запомнить:

ω=gl\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}

T=2πlgT = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}

ν=12πgl\nu = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{l}}

Можно обратить внимание ещё на одну особенность: в формулах периода, частоты и циклической частоты никак не участвует амплитуда колебаний. Таким образом, получается, что маятники, «раскачанные» до разных амплитуд, будут совершать полное колебание за одно и то же время, за один и тот же период. При небольшой оговорке – колебания должны быть малыми. Лишь тогда они будут гармоническими.

2. Превращения энергии при колебаниях математического маятника

Как вы думаете, какое превращение энергии происходит при колебаниях математического маятника?

mV22mgh\frac{mV^2}{2} \leftrightarrow mgh

kx22mgh\frac{kx^2}{2} \leftrightarrow mgh

mV22kx22\frac{mV^2}{2}\leftrightarrow \frac{kx^2}{2}

mV22mV22\frac{mV^2}{2} \leftrightarrow \frac{mV^2}{2}

Разберемся в том, какие превращения энергии происходят при движении математического маятника. В крайних положениях при колебаниях тело находится на некоторой высоте – то есть обладает некоторой потенциальной энергией. В крайнем положении тело как бы «замирает». Оно останавливается. Тело пытается сменить направление движения – и скорость при этом становится равной нулю. В нижней же точке потенциальная энергия отсутствует – остаётся только кинетическая энергия. Высота hh – это высота тела относительно самой нижней точки (посередине).

Таким образом, можно записать, что

mV22=mgh.\frac{mV^2}{2} = mgh{.}

Пружинный маятник

Пружинный маятник, по-простому, представляет собой небольшой грузик, который соединён с пружиной и может совершать колебания из стороны в сторону:

Для пружинного маятника так же, как и для математического, важны два пункта.

1. Циклическая частота, период и частота колебаний пружинного маятника

Оказывается, что величины TT, ν\nu, ω\omega зависят от жёсткости пружины и от массы колеблющегося груза mm.

Как вы думаете, что произойдёт, как изменится циклическая частота (быстрота) колебаний, если жёсткость пружинки увеличить? Например, если заменить «мягкую» пружинку на «жёсткую».

С ростом жёсткости пружинки частота колебаний увеличивается.

С ростом жёсткости пружинки частота колебаний уменьшается.

С ростом жёсткости пружинки частота колебаний не изменяется.

С ростом жёсткости пружинки частота колебаний меняется непредсказуемо.

А что произойдёт с частотой колебаний, если увеличить массу грузика? Что подсказывает вам ваш жизненный опыт?

С ростом массы груза частота колебаний увеличивается.

С ростом массы груза частота колебаний уменьшается.

С ростом массы груза частота колебаний не изменяется.

С ростом массы груза частота колебаний меняется неизвестным образом – мало данных.

На основе всего этого, как вы думаете, как может зависеть циклическая частота колебаний пружинного маятника от величин kk и mm?

ω=mk\omega = \sqrt{m \cdot k}

ω=1km\omega = \sqrt{\frac{1}{k \cdot m}}

ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

ω=mk\omega = \sqrt{\frac{m}{k}}

Аналогично из формулы ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T} можно получить:

ω=2πTωT=2πT=2πω\omega = \frac{2\pi}{T} \,\Rightarrow\,\omega \cdot T = 2\pi \,\Rightarrow T = \frac{2\pi}{\omega} \,\Rightarrow

T=2πkmT=2πmk\Rightarrow\, T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}}} \,\Rightarrow \,T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}.

Пожалуйста, обратите внимание, что в формулах T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} и ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} жёсткость пружины kk и масса груза mm поменялись местами.

Если воспользоваться формулой ν=1T\nu = \frac{1}{T}, можно получить ещё одну полезную формулу:

ν=1Tν=12πmkν=12πkm\nu = \frac{1}{T} \Rightarrow \nu = \frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}} \Rightarrow \nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.

Формулы для пружинного маятника также надо запомнить, их не так много:

ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

T=2πmkT = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

ν=12πkm\nu = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

На самом деле, можно запомнить только одну из этих формул. Остальные – вывести из формул, которые встретились нам в первом разделе темы «Механические колебания».

2. Превращение энергии при колебаниях пружинного маятника

Как вы думаете, какое превращение энергии происходит при колебаниях пружинного маятника?

mV22mgh\frac{mV^2}{2} \leftrightarrow mgh

kx22mgh\frac{kx^2}{2} \leftrightarrow mgh

mV22kx22\frac{mV^2}{2} \leftrightarrow \frac{kx^2}{2}

mV22mV22\frac{mV^2}{2} \leftrightarrow \frac{mV^2}{2}

Действительно, в крайних положениях (крайнем правом и крайнем левом) груз как бы замирает с растянутой или сжатой пружиной. Поэтому в этих положениях присутствует только потенциальная энергия сжатой пружины.

В центральном положении (положении равновесия) пружина не деформирована (не сжата и не растянута). Потенциальной энергии нет. Но груз при этом «несётся» с некоторой скоростью в противоположное положение. В положении равновесия – есть только кинетическая энергия.

По закону сохранения энергии – энергия никуда не девается. Кинетическая энергия не исчезает, а переходит в потенциальную. И наоборот: потенциальная – в кинетическую.

Можно написать, что mV022=kx022\frac{mV^2_0}{2} = \frac{kx^2_0}{2}, где V0V_0 – максимальная скорость движения груза, x0x_0 – максимальное смещение груза – то есть амплитуда колебаний.

Надо сказать, что для математического и пружинного маятника справедливы все формулы, которые мы приводили ранее – в теме "Механические колебания".

Порешаем задачи. Первую задачу сначала попробуйте решить самостоятельно.

Математический маятник с периодом колебаний TT отклонили на небольшой угол от положения равновесия и отпустили с начальной скоростью, равной нулю (см. рисунок).

Через какое время после этого потенциальная энергия маятника в первый раз вновь достигнет максимума? Сопротивлением воздуха пренебречь.

(Источник: ЕГЭ-2013. Физика. Реальный экзамен. Основная волна. Дальний Восток. Вариант 2)

14T\frac{1}{4} T

18T\frac{1}{8} T

12T\frac{1}{2} T

TT

Разберем еще одну задачу.

Условие

Маленький грузик массой 2525 г, закреплённый на пружине, совершает гармонические колебания. График зависимости координаты xx этого грузика от времени tt изображён на рисунке.

Чему равна жёсткость пружины? Ответ выразите в Н/м.

(Источник: ЕГЭ-2014. Физика. Диагностическая работа от 06.05.2014)

Решение

Шаг 1. Из условий нам известна только масса – и дан рисунок, на котором показано, как меняется координата со временем. А спрашивается в задаче про жёсткость. Интересно, есть ли формула, которая связывает массу, жёсткость и, возможно, что-то ещё?

Как вы думаете, как выглядит такая формула?

Составьте правильную формулу.

Шаг 2. Откуда можно взять циклическую частоту ω\omega для нашей формулы ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}? Масса известна, жёсткость надо найти по условию задачи – не хватает только циклической частоты ω\omega. Мы никак не использовали картинку, которая нам дана. А что обычно находят из зависимости координаты от времени для гармонических колебаний – что находят из таких картинок?

Что можно найти из графика зависимости координаты от времени для тела, совершающего колебания? Выберите все варианты, которые считаете верными.

Период TT

Амплитуду колебания x0x_0

Длину нити ll

Ускорение свободного падения gg

Жёсткость пружины kk

Массу колеблющегося груза mm

Шаг 3. Выразим циклическую частоту ω\omega через другие величины.

С чем можно связать циклическую частоту ω\omega?

С амплитудой x0x_0.

С периодом TT.

С кинетической энергией колебаний mV22\frac{mV^2}{2}.

Невозможно связать ни с чем.

Попробуйте вспомнить формулу циклической частоты.

Составьте правильную формулу.

Шаг 4. Комбинируя формулы ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T} и ω=km\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}, получим:

2πT=km\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}.

Шаг 5. Но нам надо найти ещё и период колебаний.

Чему равен период колебаний, которые изображены на рисунке?

T=0,01πT = 0,01 \pi

T=0,02πT = 0,02 \pi

T=0,03πT = 0,03 \pi

T=0,04πT = 0,04 \pi

Шаг 5. Выразим жёсткость пружины:

2πT=km(2πT)2=km\frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}} \Leftrightarrow \left(\frac{2\pi}{T} \right)^2 = \frac{k}{m} \Leftrightarrow

m(2πT)2=kk=m(2πT)2\Leftrightarrow m \cdot \left(\frac{2\pi}{T} \right)^2 = k \Leftrightarrow k = m \cdot \left(\frac{2\pi}{T} \right)^2.

Шаг 6. Подставим численные значения:

k=m(2πT)2=25г(2π0,04π сек.)2=25103(10,02)2Hм=k = m \cdot \left(\frac{2\pi}{T} \right)^2 = 25 г \left(\frac{2\pi}{0,04\pi\text{ сек.}} \right)^2 = 25 \cdot 10^{-3} \cdot \left(\frac{1}{0,02} \right)^2 \frac{H}{м} =

=25103(12102)2Hм=2510314104Hм=2504Hм=62,5Hм= 25 \cdot 10^{-3} \cdot \left(\frac{1}{2 \cdot 10^{-2}} \right)^2 \frac{H}{м} = 25 \cdot 10^{-3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 10^4 \frac{H}{м} = \frac{250}{4} \frac{H}{м} = 62,5 \frac{H}{м}.

Ответ: k=62,5Нмk = 62,5 \frac{Н}{м}.

Задачи для самостоятельного решения: #маятник

  • Понравилось?
  • 1