Метод интервалов

Если функция имеет вид $f(x)=(x-x_1)^{\beta _1}\cdot ... \cdot (x-x_k)^{\beta _k}$, где $\beta _1, ..., \beta _k$ — целые числа, отличные от нуля, а $x_1\lt ...\lt x_k$, то

• функция $f(x)$ имеет фиксированный знак на каждом из интервалов $(-\infty ;x_1), (x_1;x_2),...,(x_k;\infty )$
• меняет знак только в тех точках $x_i$, для которых $\beta _i$ является нечетным числом
• на самом правом интервале $(x_k;\infty )$ функция имеет положительный знак.

Обратите внимание, что если перед первым множителем в уравнении функции стоит знак "-", т.е. она имеет вид $f(x)= - (x-x_1)^{\beta _1}\cdot ... \cdot (x-x_k)^{\beta _k}$ , то на самом правом интервале $(x_k;\infty )$ функция имеет отрицательный знак.

У многочлена $f(x)=x(x-1)^2(x-2)$ корни $x=0$ и $x=2$ имеют кратность $1$, а корень $x=1$ имеет кратность $2$. Поэтому $f(x)\gt 0$ на интервалах $(-\infty {;}0)$ и $(2{;}\infty )$ и $f(x)\lt 0$ на интервалах $(0{;}1)$ и $(1{;}2){.}$