Если функция имеет вид f(x)=(xx1)β1...(xxk)βkf(x)=(x-x_1)^{\beta _1}\cdot ... \cdot (x-x_k)^{\beta _k}, где β1,...,βk\beta _1, ..., \beta _k — целые числа, отличные от нуля, а x1<...<xkx_1\lt ...\lt x_k, то

  • функция f(x)f(x) имеет фиксированный знак на каждом из интервалов (;x1),(x1;x2),...,(xk;)(-\infty ;x_1), (x_1;x_2),...,(x_k;\infty )
  • меняет знак только в тех точках xix_i, для которых βi\beta _i является нечетным числом
  • на самом правом интервале (xk;)(x_k;\infty ) функция имеет положительный знак.

Обратите внимание, что если перед первым множителем в уравнении функции стоит знак "-", т.е. она имеет вид f(x)=(xx1)β1...(xxk)βk f(x)= - (x-x_1)^{\beta _1}\cdot ... \cdot (x-x_k)^{\beta _k} , то на самом правом интервале (xk;)(x_k;\infty ) функция имеет отрицательный знак.

У многочлена f(x)=x(x1)2(x2)f(x)=x(x-1)^2(x-2) корни x=0x=0 и x=2x=2 имеют кратность 11, а корень x=1x=1 имеет кратность 22. Поэтому f(x)>0f(x)\gt 0 на интервалах (;0)(-\infty {;}0) и (2;)(2{;}\infty ) и f(x)<0f(x)\lt 0 на интервалах (0;1)(0{;}1) и (1;2).(1{;}2){.}