Работа. Как мы привыкли понимать слово "работа" в нашей повседневной жизни? Да, правильно: работать — значит, что-то делать, выполнять, творить.

Для выполнения работы надо прилагать некоторые усилия — прилагать силу. Поэтому логично, что в формуле механической работы должна фигурировать сила FF.

Но кроме приложения усилий нужен еще и результат. Без результата работы как будто и не было. Что может быть результатом в механике? Время tt, затраченное на работу? Нет, кому это интересно — сколько времени кто-то выполнял работу. В механике бывает интересно, сдвинулось тело или же нет. То есть интересно в механике перемещение S\text{ }S.

Поэтому очень логичным выглядит определение работы AA в следующем виде:

A=FSA=F\cdot S.

Действительно:

  • чем больше усилий некто прилагал к передвижению тела (чем больше сила FF) — тем большая работа была совершена;
  • чем дальше было передвинуто тело — тем большая работа была совершена.

Очень логичное определение. Но немного неточное. Точное определение работы выглядит следующим образом:

A=FScosαA=F\cdot S\cdot\cos\alpha,

где α\alpha — угол между направлением вектора силы F\vec{F} и вектора перемещения S\vec{S}.

Хотелось бы обратить ваше внимание на то, что работа — скалярная величина, то есть просто число (не вектор).

Для вас может быть непривычно, что перемещение — это вектор. Да, правда, в начальной главе раздела "Механика" перемещение определялось, как скалярная величина — длина отрезка, связывающего начальное и конечное положение тела. Это делалось для упрощения. Но согласитесь, что логично задать перемещение как вектор, который показывает, из какой точки тело начало движение (начало вектора) и в какой точке свое движение закончило (конец вектора).

Откуда в формуле работы взялся какой-то cosα\cos\alpha? Очень логичный вопрос. Попробуем объяснить это на примере.

Представим, что несколько грузчиков тащит груз. Тут к ним пришел их начальник Николай Петрович со словами: "А давайте-ка я вам помогу!" Грузчики ему отвечают: "А давайте!"

1. Пусть у нас сила Николая Петровича направлена в ту же сторону, что и перемещение. Иначе говоря — куда тянем (куда направлена сила F\vec{F}), туда и двигаемся (двигаемся туда, куда направлено перемещение S\vec{S}).

В этом случае угол α=0\alpha=0^{\circ}, cos0=1\cos 0^{\circ}=1, поэтому работа такой силы равна

Aα=0=FS1=FSA_{\alpha=0^{\circ}}=F\cdot S\cdot 1=F\cdot S.

Это максимальная работа, поскольку значение косинуса в нашем случае максимально и равно единице.

Николай Петрович пришел к грузчикам и спросил: "Ну как, ребятки, помог я вам?" "Помогли, Николай Петрович! Вы молодец. Совершили положительную максимальную работу. Спасибо вам!"

2. Пусть теперь сила Николая Петровича F\vec{F} направлена перпендикулярно направлению перемещения.

В этом случае угол α=90\alpha=90^{\circ}, а косинус этого угла равен cos90=0\cos 90^{\circ}=0. Поэтому работа такой силы:

Aα=90=FS0=0A_{\alpha=90^{\circ}}=F\cdot S\cdot 0=0.

Нулевая работа. По сути, работа не совершалась вовсе.

"Ну как, ребятки, помог я вам и в этот раз?" "Да как вам сказать, Николая Петрович... Вы нам и не помогали, и не мешали. Толку от вас не было. Будто и не работали вы вовсе".

3. Пусть теперь в последнем из рассматриваемых случаев сила Николая Петровича F\vec{F} направлена противоположно направлению перемещения груза.

В этом случае угол α=180\alpha=180^{\circ}; косинус же этого угла cos180=1\cos 180^{\circ}=-1. Тогда работа такой силы:

Aα=180=FS(1)=FSA_{\alpha=180^{\circ}}=F\cdot S\cdot(-1)=-F\cdot S.

Работа — отрицательная. По сути, работа не только не совершалась — такая работа только "мешалась".

"А в этот раз как, ребята, помог ли я вам?"

"Николай Петрович, шли бы вы лучше работать в офис. Вы нам не только не помогали — вы нам мешали. Мы груз-то тащили вообще в другую сторону".

Теперь понятно, для чего в определении работы присутствует cosα\cos\alpha. Он показывает "полезность" работы.

Единица измерения работы — Джоуль.

[A]=1 Н1 м=1 Дж[A]=1\text{ Н}\cdot 1\text{ м}=1\text{ Дж}.

Рассмотрим пример.

Самолет летит горизонтально, двигаясь вперед с постоянной скоростью. На рисунке изображены векторы действующих на него сил. Какая из этих сил при движении самолета совершает отрицательную работу в системе отсчета, связанной с Землей?

(Источник: сайт reshuege.ru, тренировочный тест Яндекс-ЕГЭ)

Подъемная сила Fпод\vec{F}_{под}

Сила тяги двигателя Fтяги\vec{F}_{тяги}

Сила тяжести mgm\vec{g}

Сила сопротивления воздуха Fсопр\vec{F}_{сопр}

Работа суммы сил

Сила, приложенная к телу, может представлять собой сумму других сил. Пусть сила Fравнод\vec{F}_{равнод} — равнодействующая двух приложенных к телу сил:

Fравнод=F1+F2\vec{F}_{равнод}=\vec{F}_1+\vec{F}_2.

Посмотрим, чему равна работа равнодействующей силы:

Aравнод=FравнодS=(F1+F2)S=A_{равнод}=\vec{F}_{равнод}\cdot\vec{S}=(\vec{F}_1+\vec{F}_2)\cdot\vec{S}=

=F1S+F2S=A1+A2=\vec{F}_1\cdot\vec{S}+\vec{F}_2\cdot\vec{S}=A_1+A_2.

Aравнод=A1+A2A_{равнод}=A_1+A_2.

Очень интересная вещь: оказывается, работа суммы сил равна сумме работ каждой из этих сил.

В записях работы равнодействующей силы AравнодA_{равнод} нам впервые встретился странный объект: умножение вектора на вектор

FS\vec{F}\cdot\vec{S}.

Мы знаем (из темы "Два вида физических величин"), как умножать вектор на число. Например, 2a2\cdot\vec{a} означает вектор, который в два раза длиннее вектора a\vec{a}. Оказывается, что умножать вектор на вектор тоже можно: ab\vec{a}\cdot\vec{b}. Такая "конструкция" называется скалярным произведением векторов. Оно равно произведению длин каждого из векторов на косинус угла между ними:

ab=abcosα\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\cos\alpha.

Как вы, наверное, уже догадались, работа — это скалярное произведение векторов силы F\vec{F} и перемещения S\vec{S}:

A=FS=FScosαA=\vec{F}\cdot\vec{S}=|\vec{F}|\cdot|\vec{S}|\cdot\cos\alpha.

Разберем задачу.

Условие

Под действием двух взаимно перпендикулярных сил 3030 и 4040 Н тело переместилось на 1010 м. Найти работу каждой силы в отдельности и равнодействующей силы.

(Источник: Рымкевич А.П. Задачник по физике)

Решение

Для начала нам надо сделать рисунок, который прояснил бы условия задачи.

На рисунке указаны две перпендикулярные друг другу силы и сила, которая является их равнодействующей. Нетрудно подсчитать, что она будет равна 5050 Н:

Fравнод=(30H)2+(40H)2=900+1600H=F_{равнод}=\sqrt{(30H)^2+(40H)^2}=\sqrt{900+1600}H=

=2500H=50H=\sqrt{2500}H=50H.

Будем считать, что тело изначально находилось в состоянии покоя, то есть не двигалось. В задаче, кстати, не сказано, куда двигалось тело. Сказано только, что оно переместилось на 1010 метров.

Как вы думаете, куда двигалось тело?

Тело двигалось в направлении силы в 3030 Н

Тело двигалось в направлении силы в 4040 Н

Тело двигалось в направлении равнодействующей силы в 5050 Н

Тело не двигалось

Вычислим работу силы в 4040 Н.

A40H=FScosα=40H10мcosαA_{40H}=F\cdot S\cdot\cos\alpha=40H\cdot 10м\cdot\cos\alpha.

Чему равен cosα\cos\alpha? Вспомним, что α\alpha — это угол между силой в 4040 Н и равнодействующей силой. Треугольник, образованный этими силами, — прямоугольный, потому что две данные в условии силы перпендикулярны друг другу (см. рисунок). А это значит, что cosα\cos\alpha можно вычислить из сторон этого треугольника:

cosα=катетгипотенуза=40H50H=45\cos\alpha=\frac{катет}{гипотенуза}=\frac{40H}{50H}=\frac{4}{5}.

Тогда работа вычисляется несложно:

A40H=FScosα=40H10мcosα=A_{40H}=F\cdot S\cdot\cos\alpha=40H\cdot 10м\cdot\cos\alpha=

=40045 Дж=804 Дж=320 Дж=400\cdot\frac{4}{5}\text{ Дж}=80\cdot 4\text{ Дж}=320\text{ Дж}.

Аналогичным образом можно вычислить работу силы в 3030 Н.

Чему равна работа силы в 3030 Н? Ответ выразите в Джоулях.

Осталось последнее — вычислить работу равнодействующей силы.

Вычислите работу равнодействующей силы (в Джоулях).

Ответ. A40Н=320A_{40Н}=320 Дж, A30Н=180A_{30Н}=180 Дж, Aравнод=А50Н=500A_{равнод}=А_{50Н}=500 Дж.

Замечание. Можно увидеть одну интересную вещь:

A30Н+A40Н=180 Дж+320 Дж=500 Дж=АравнодA_{30Н}+A_{40Н}=180\text{ Дж}+320\text{ Дж}=500\text{ Дж}=А_{равнод}.

Вывод: работа суммы сил (работа равнодействующей, которая является суммой исходных сил) = сумме работ каждой из сил. Мы убедились в этом на примере.

Задачи для самостоятельного решения: #механическая работа

  • Понравилось?
    +1
  • 1