Колебания. О чём это? Кто-то или что-то колеблется? А что значит – «колебаться»? Это как?

Колебания – это движение, при котором состояния системы повторяются точно или почти точно через определённые промежутки времени.

Какие мы знаем примеры колебаний из жизни?

Например, колебания грузика на верёвке – его покачивающиеся движения:

Или движение грузика на пружинке:

Можно привести ещё немало примеров: как сложных, так и простых. И они будут разные. Но что-то должно их всех объединять. И объединяет их то, что в каждом из этих примеров система возвращается в исходное состояние, а затем – повторяет своё движение снова.

Колебания могут происходить с разной интенсивностью: колеблющееся тело может отклоняться сильно/слабо. Колебания могут происходить быстро или медленно. Надо это как-то охарактеризовать.

Нам с вами нужно определить какую-то величину, которая бы говорила: сильно отклоняется тело при колебаниях или же слабо. Такой величиной для нас будет амплитуда.

Также нас интересует, быстро происходит колебательное движение или же медленно. Быстроту колебаний будут характеризовать период колебаний и частота колебаний.

И последнее: нам бы очень хотелось найти способ описать, в каком положении находится колеблющееся тело в каждый момент времени. То есть хотелось бы уметь предсказывать, где находится тело, если известен момент времени.

Охарактеризуем колебания с помощью нескольких величин.

1. Амплитуда колебаний

Амплитуда – это модуль максимального смещения от положения равновесия.

Обычно амплитуда обозначается как x0x_0 или AA.

Трудное определение, но прежде, чем его разъяснять, давайте попробуем проверить – может быть, вы и так уже сами его поняли. Сделаем это на примере колебания грузика на пружинке.

Какой из отрезков является амплитудой колебания?

1

2

3

4

2. Период колебаний

Период – это время одного колебания, то есть время, которое нужно для того, чтобы тело вернулось в исходное состояние с готовностью совершить новое такое же или почти такое же колебание.

Период обозначается TT и измеряется в секундах:

[T]=1 секунда=1 с[T] = 1\text{ }секунда = 1\text{ }с.

Период можно вычислить. Если тело за время tt совершило NN колебаний, то период TT можно вычислить по формуле...

Составьте правильную формулу периода.

Составьте правильную формулу.

Итак, период можно найти по формуле T=tN,T=\frac{t}{N}{,} где NN – количество колебаний, а tt – время, за которое тело совершило NN колебаний.

3. Частота

Частота – это величина, которая показывает, сколько колебаний происходит в единицу времени.

В системе Си – сколько колебаний происходит за одну секунду. Фактически эта величина показывает, «как часто» происходят колебания, «как много» колебаний происходит. Обозначается ν\nu.

Если тело за время tt совершило NN колебаний, то частоту ν\nu можно вычислить по формуле:

ν=tN\nu = \frac{t}{N}

ν=Nt\nu = \frac{N}{t}

ν=tN\nu = t \cdot N

ν=N+t\nu = N + t

Частоту можно найти по формуле ν=Nt,\nu = \frac{N}{t}{,} где NN – количество колебаний, а tt – время, за которое тело совершило NN колебаний.

Можно заметить, что частота и период связаны некоторым соотношением.

Каким соотношением связаны частота и период?

ν=1T\nu = \frac{1}{T}

ν=T\nu = T

ν+T=1\nu + T = 1

νT=1\nu - T = 1

Период и частота являются обратными величинами: ν=1T.\nu=\frac{1}{T}{.}

4. Фаза колебаний

Пожалуй, это самое сложное понятие в этой теме. Давайте посмотрим на рисунок, на котором схематично представлен процесс одного колебания:

Мы видим, что при совершении полного колебания тело последовательно проходит положения 123411-2-3-4-1.

  • Положение 11 – это начало колебаний.
  • Положение 22 – это 14\frac{1}{4} колебания.
  • Положение 33 – это половина колебания (12\frac{1}{2}).
  • Положение 44 – это три четверти колебания (34\frac{3}{4}).
  • И, наконец, вновь положение 11, которое соответствует полному колебанию.

На практике оказывается, что пользоваться терминами – половина колебания, одна четверть колебания и т.д. – бывает неудобно. А удобной оказывается аналогия с движением по окружности. Вы уже заметили, наверное, что в этой теме присутствуют величины, которые уже встречались в теме «Движение по окружности» (период, частота). Аналогии продолжаются. И на этот раз фаза – это аналог угла.

Напомним вам, что полному обороту по окружности соответствует угол в 2π2\pi радиан. Полному колебанию в колебательном движении ставят в соответствие фазу φ=2π\varphi = 2 \pi. Так же и для других углов поворота и фаз:

  • Четверть окружности – угол поворота α=π2\alpha = \frac{\pi}{2}; четверть колебания – фаза φ=π2\varphi = \frac{\pi}{2}.
  • Половина окружности – угол поворота α=π\alpha = \pi; половина колебания – фаза φ=π\varphi = \pi.
  • Три четверти окружности – угол поворота α=3π2\alpha = \frac{3 \pi}{2}; три четверти колебания – фаза φ=3π2\varphi = \frac{3\pi}{2}.
  • Полная окружность – угол поворота α=2π\alpha = 2 \pi; полное колебание – фаза φ=2π\varphi = 2 \pi.

Итак, можно сказать, что

Фаза – это некоторая внутренняя координата колебания. Она как бы показывает, «как много колебания» прошло, какая часть колебания прошла.

Может сложиться ошибочное впечатление, что фаза может быть только π2\frac{\pi}{2}, только π\pi, только 3π2\frac{3 \pi}{2} или только 2π2 \pi. Нет. Она может быть любой. Принимать любое промежуточное значение. И не промежуточное тоже: она может быть и больше, чем 2π2 \pi, и меньше, чем 00.

Фаза может быть любой. Как тогда можно её понять?

Например, как можно понять фазу π4\frac{\pi}{4}? Это сделать, оказывается, не так сложно.

Итак, вы, возможно, ещё не забыли, что полное колебание соответствует фазе 2π2 \pi. Полное колебание занимает по времени промежуток времени TT, то есть период колебаний​.

Как же из 2π2 \pi можно получить π4\frac{\pi}{4}?

Нужно 2π2 \pi разделить на 44.

Нужно 2π2 \pi разделить на 88.

Нужно 2π2 \pi умножить на 44.

Нужно 2π2 \pi умножить на 88.

Если фазе 2π2 \pi соответствует время, равное периоду колебаний TT, то фазе π4=182π\frac{\pi}{4} = \frac{1}{8} \cdot 2\pi соответствует время колебания t=18Tt = \frac{1}{8} \cdot T: одной восьмой части фазы полного колебания должна соответствовать одна восьмая часть времени полного колебания. То есть для того, чтобы приобрести фазу π4\frac{\pi}{4} – необходимо «проколебаться» 18\frac{1}{8} времени полного колебания – периода. Именно времени, не амплитуды!

Подробнее о фазе поговорим чуть позже, когда речь зайдёт о гармонических колебаниях.

5. Циклическая частота

Фактически циклическая частота показывает быстроту изменения фазы колебания: как быстро происходит колебание, как быстро меняется фаза. Обозначается ω\omega.

Как вы думаете, какая формула для циклической частоты верна?

ω=tφ\omega = \frac{t}{\varphi}

ω=φt\omega = \frac{\varphi}{t}

ω=φt\omega = \varphi \cdot t

ω=φ+t\omega = \varphi + t

Можно получить одно полезное соотношение, если рассмотреть циклическую частоту при полном колебании.

Как вы думаете, какую формулу можно получить для циклической частоты, если рассмотреть полное колебание?

ω=0\omega = 0

ω=π2T\omega = \frac{\pi}{2T}

ω=πT\omega = \frac{\pi}{T}

ω=2πT\omega = \frac{2 \pi}{T}

Итак,

ω=φt=2πT\omega = \frac{\varphi}{t} = \frac{2 \pi}{T}

Можно получить ещё одну полезную формулу, если вспомнить, как связаны частота колебаний и период: ν=1T;ω=φt=2πT=2πν\nu = \frac{1}{T};\,\,\omega = \frac{\varphi}{t} = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \nu

ω=2πν\omega = 2 \pi \nu

В школьной физике для одного и того же колебания циклическая частота неизменна. Она всегда одна и та же. Это как скорость при равномерном движении – она не меняется.

Аналогия со скоростью здесь очень уместна. Скорость показывает, как много координаты «проходится» за определённый промежуток времени. А циклическая частота (угловая скорость) – показывает, как много фазы «проходится» за определённый промежуток времени. Фаза (ещё разок) – это некоторая внутренняя координата колебаний. Она как бы показывает, как много колебания прошло, произошло и т.д.

Период, частота и циклическая частота – все они связаны друг с другом. Если вы знаете одну из этих величин, то без труда можно найти две остальные.

Гармонические колебания

Интересно, а есть ли способ узнать координату колеблющегося тела (например, математического маятника, который представляет собой шарик на верёвке) в какой-то момент времени? Оказывается, есть. Это называется зависимостью координаты тела от времени: x=f(t)x = f(t). И эти зависимости могут быть разными.

Оказывается, среди всех возможных колебаний – есть некоторые особенные. У них есть одна отличительная черта. Какая – станет ясно чуть позже.

Как вы думаете, какой из приведённых ниже графиков соответствует изменению координаты колеблющегося тела со временем?

График №1

График №2

График №3

График №4

Теперь нам понадобятся ваши знания математики. Помните ли вы из математики некоторые функции, графики которых похожи на график под номером 33 из предыдущего задания?

Попробуйте выбрать функцию, график которой похож на график изменения координаты колеблющегося тела.

y=kx+by = kx + b

y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c

y=sinxy = \sin x

y=tgxy = \text{tg} x

Оказалось, что в природе есть колебания, у которых координата зависит от времени именно по закону синуса (или косинуса – это не важно).

Итак: x=sin(...)x = \sin (...).

А что подставить в синус? У нас была интересная величина – фаза. Кажется, она может неплохо подойти для подстановки в синус. Почему? Так ведь она же похожа на углы в радианах. Возможно, что из математики вы помните про углы 2π2 \pi, π\pi, π2\frac{\pi}{2}. А фазы бывают ровно такими же.

Почему бы тогда не использовать фазу в качестве угла: x=sin(...)=sinφx = \sin (...) = \sin \varphi.

Вспомним формулу: ω=φt\omega = \frac{\varphi}{t}. Выразим угол: φ=ωt\varphi = \omega \cdot t.

Тогда: x=sin(...)=sinφ=sin(ωt)x = \sin (...) = \sin \varphi = \sin (\omega \cdot t).

Ещё одно дополнение. Значение синуса меняется от (1)(-1) до (+1)(+1). Но наша координата должна меняться от (x0)(-x_0) до (+x0)(+x_0), где x0x_0 – амплитуда. Как можно изменить формулу x=sin(ωt)x = \sin(\omega \cdot t), которую мы получили, чтобы формула стала правильной, "работающей"?

Как нужно учесть амплитуду x0x_0 в формуле x=sin(ωt)x = \sin(\omega \cdot t)?

x=x0sin(ωt)x = x_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)

x=x0+sin(ωt)x = x_0 + \sin(\omega \cdot t)

x=x0sin(ωt)x = x_0 - \sin(\omega \cdot t)

x=x0sin(ωt)x = \frac{x_0}{\sin(\omega \cdot t)}

Итак, уравнение гармонического колебания:

x=x0sin(ωt)x = x_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)

Соберём все выведенные формулы в одном месте:

  • Период колебаний: T=tNT = \frac{t}{N}
  • Частота колебаний: ν=Nt=1T\nu = \frac{N}{t} = \frac{1}{T}
  • Циклическая частота (фазовая скорость): ω=φt=2πT=2πν\omega = \frac{\varphi}{t} = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \nu
  • Уравнение гармонических колебаний: x=x0sin(ωt)x = x_0 \cdot \sin(\omega \cdot t)

Разберем задачу.

Условие

При гармонических колебаниях пружинного маятника координата груза x(t)=Asin(2πtT+φ0)x(t) = A \cdot \sin(2 \pi \frac{t}{T} + \varphi_0) изменяется с течением времени tt, как показано на рисунке.

Период TT и амплитуда колебаний AA равны соответственно

  1. T=4T = 4 с, A=1,5A = 1,5 см.
  2. T=5T = 5 с, A=1,5A = 1,5 см.
  3. T=3T = 3 с, A=3A = 3 см.
  4. T=2T = 2 с, A=3A = 3 см.

(Источник: ЕГЭ-2013. Физика. Основная волна. Центр. Вариант 6)

Решение

Шаг 1. Попробуем сначала понять, что это за график представлен на рисунке. Мы видим, что тут две оси: ось времени и ось координат. Также видно, что с ростом времени координата тела то увеличивается, то уменьшается. Значит, действительно – это график колебания.

Шаг 2. Попробуем понять, чему равен период колебания. Период – это время одного полного колебания. Полное колебание – это небольшая часть движения, когда тело возвращается в исходное состояние.

Как вы думаете, в какой точке завершается одно полное колебание, если оно началось в точке ОО?

AA

BB

CC

DD

EE

Шаг 3. Из предыдущего шага становится понятно, что период колебания равен 44 с.

Шаг 4. Амплитуда колебания. Напомним, что амплитуда – это максимальное смещение от положения равновесия. Поэтому сначала нужно понять, где именно находится это положение равновесия.

Как вы думаете, в какой точке находится положение равновесия?

AA

BB

DD

OO

Шаг 5. Найдем амплитуду.

Чему равно максимальное смещение от положения равновесия?

1,51,5 см

11 см

1-1 см

1,5-1,5 см

Ответ. 1) Т=4Т=4 с, А=1,5А = 1,5 см.

Условие

Маятники 11 и 22 совершают гармонические колебания по законам x1(t)=6cos(3t)x_1(t) = 6 \cdot \cos(3 \cdot t) и x2(t)=12sin(3t)x_2(t) = 12 \cdot \sin(3 \cdot t). Фазы колебаний этих маятников

  1. одинаковые
  2. отличаются в 2 раза
  3. отличаются в 4 раза
  4. отличаются на π2\frac{\pi}{2}

(Источник: ЕГЭ-2014. Физика. Диагностическая работа от 01.04.2014)

Решение

Шаг 1. Вспомним, что такое фаза.

Выберите правильное определение фазы.

Фаза – это время полного колебания.

Фаза – это некоторая внутренняя координата колебания, которая показывает, «как много колебания» произошло.

Фаза – это скорость совершения колебания.

Фаза – это модуль максимального смещения от положения равновесия.

Шаг 2. Вернёмся к вопросу задачи: насколько отличаются фазы колебаний? Этот вопрос можно переформулировать так: на сколько одно колебание обгоняет (или же опережает) другое? Глядя на законы колебания x1(t)=6cos(3t)x_1(t) = 6 \cdot \cos(3 \cdot t) и x2(t)=12sin(3t)x_2(t) = 12 \cdot \sin(3 \cdot t) трудно понять, на сколько одно колебание обгоняет другое/отстаёт от другого. Выход – попробовать нарисовать графики этих колебаний. Здесь вам понадобятся знания из математики: надо знать, как выглядит график косинуса, а как – синуса.

Установите правильные соответствия.

Какой из графиков соответствует закону x1(t)=6cos(3t)x_1(t) = 6 \cdot \cos(3 \cdot t)?

График №1

График №2

График №3

График №4

Какой из приведенных выше графиков соответствует закону x2(t)=12sin(3t)x_2(t) = 12 \cdot \sin(3 \cdot t)?

График №1

График №2

График №3

График №4

Шаг 3. Теперь нам нужно понять, кто кого опережает/кто от кого отстаёт.

Как вам кажется, что нужно сделать, чтобы ответить на этот вопрос?

Поставить один график под другим – посмотреть, насколько один график смещён относительно другого.

Математически сложить графики друг с другом.

Нарисовать третий график – график тангенса, чтобы учесть и синус, и косинус.

Математически вычесть графики друг из друга.

Из рисунка видно, что график косинуса смещён относительно графика синуса на небольшую величину.

Какую долю от всего графика одного колебания составляет величина, на которую график косинуса смещён относительно графика синуса?

14\frac{1}{4}

12\frac{1}{2}

13\frac{1}{3}

34\frac{3}{4}

Шаг 4. Осталось найти фазу колебания.

Чему равна фаза, которая соответствует 14\frac{1}{4} колебания?

2π2 \pi

π\pi

π2\frac{\pi}{2}

π3\frac{\pi}{3}

Правильный ответ: 4) отличаются на π2\frac{\pi}{2}.

Задачи для самостоятельного решения: #механические колебания

  • Понравилось?