Что вы узнаете

  • Как записать условие задачи на округление математически?
  • Как определить по условию, в какую сторону округлять?
  • Как округлить число до ближайшего целого?
  • Как округлить число до kk-го знака?

Округление с недостатком или избытком

Разберем следующую задачу:

На день рождения полагается дарить букет из нечетного числа цветов. Тюльпаны стоят 6464 рублей за штуку. У Вани есть 300300 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет Маше на день рождения?

Если бы Ваня покупал не цветы для Маши, а конфеты для Глаши по 6464 рубля за кг, то для того, чтобы найти, сколько можно купить на 300300 рублей, мы бы просто поделили 300300 на 6464 (например, в столбик): 30064=4,6875\frac{300}{64} = 4,6875 кг.

При покупке тюльпанов этого недостаточно, поскольку число тюльпанов должно быть целым и, к тому же, нечетным. На 55 тюльпанов у Вани денег не хватает, а на 33 — вполне. Поэтому Ваня может купить букет максимум из 33 тюльпанов, а сдачу с чистой совестью потратить так, как ему хочется.

Как и в этом примере, во многих жизненных ситуациях мы сталкиваемся с задачами, в которых в результате вычислений получается нецелое число и его необходимо округлить в ту или иную сторону. В этой задаче мы округляли вниз, то есть с недостатком. В некоторых задачах на деление нужно округлять ответ не вниз, а вверх (с избытком).

В какую сторону нужно округлять результат в следующей задаче:

"Теплоход рассчитан на 855855 пассажиров и 3030 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 7070 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?"

Вверх (с избытком)

Вниз (с недостатком)

Найдите теперь ответ в этой задаче (количество шлюпок).

В следующих упражнениях определите, как следует округлить результат деления — с недостатком или с избытком.

В доме, в котором живет Витя, 99 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже находится по 44 квартиры. Витя живет в квартире №128128. В каком подъезде живет Витя?

с избытком (вверх)

с недостатком (вниз)

В университетскую библиотеку привезли новые учебники по высшей алгебре для 11-22 курсов, по 260260 штук для каждого курса. Все книги одинаковы по размеру. В книжном шкафу 55 полок, на каждой полке помещается 2020 учебников. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми учебниками?

с избытком (вверх)

с недостатком (вниз)

Округление до ближайшего целого

В описанных задачах направление округления следовало из смысла задачи. А как быть с задачами, в которых требуется округлить до ближайшего целого?

При округлении до ближайшего целого используйте следующее правило:

Если дробная часть (все цифры, идущие после запятой) начинается с цифр от 00 до 44, то дробная часть отбрасывается, а целая часть остается без изменений. Если дробная часть начинается с цифр от 55 до 99, то дробная часть тоже отбрасывается, но к целой части добавляется 11.

Округление обозначается значком \approx. Например 0,3500,35\approx 0, а 12,781312,78\approx 13.

Диагональ экрана ноутбука равна 1313 дюймов. Выразите диагональ экрана в сантиметрах, если в одном дюйме 2,542,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Смысл округления до ближайшего целого в том, что все числа, для которых ближайшее число находится снизу, округляются вниз, а для которых сверху — вверх.

Исключение составляют полуцелые числа, такие как 1,51,5 или 2,5-2,5. Они одинаково близки к целому числу снизу и сверху. Математики пришли к соглашению, что такое число следует округлять в сторону большего числа (видимо, среди них большинство оказалось оптимистами). Например, 1,521,5\approx 2.

Округлите с помощью этого правила число 2,5-2,5

Интересно, что полуцелые числа иногда округляют иначе. Банкиры и финансисты округляют полуцелые до ближайшего четного числа. Например, 2,52,5 округляется до 22, а 3,53,5 округляется до 44. Видимо, четные числа банкирам кажутся более круглыми.

Округление до kk-го знака

А что делать, если нам необходимо округлить до kk-го знака после запятой? Например, до десятых (11 знак после запятой) или до сотых (22 знака после запятой).

Правило округления здесь аналогичное:

Отбрасываем все, что идет после kk-го знака. Затем, если в (k+1)(k+1)-м разряде стояла цифра, большая или равная пяти, то прибавляем единицу к kk-му знаку (если там девятка, то в kk-м разряде пишется 00, а единица переходит в (k1)(k-1)-й разряд).

Примеры округления одного и того же числа до разных знаков:

До целых: 4,496=4,+049644,496=4,|^{+0} 496\approx 4;

до десятых: 4,496=4,4+1964,54,496=4,4|^{+1}96\approx 4,5;

до сотых: 4,496=4,49+164,504,496=4,49|^{+1}6\approx 4,50.

В последнем примере важно писать ноль в конце, чтобы было 22 знака после запятой. Тогда становится понятно, до какого знака было произведено округление. Если, скажем, инженер узнает, что сила тока в цепи была приблизительно равна 11 А, то он может подумать, что более точное измерение может дать 0,80,8 А или 1,21,2 А. Если же ему сообщили, что сила тока равна 1,001,00 А, то становится ясно, что сила тока была измерена более точно и отклонение может составлять не более 0,0050,005 А.

В заключение решите пример:

Округлите число π=3,1415926536...\pi=3,1415926536... до тысячных.

Заключение

  • В задачах на округление главное — быть внимательным и проверять ответ на здравый смысл, а результат деления проверять умножением.
  • При округлении до ближайшего целого или до kk-го знака после запятой помните, что если после этого знака стоит цифра от 00 до 44, то "хвост" отбрасывается без изменения оставшихся цифр, а если стоит цифра от 55 до 99, то "хвост" отбрасывается, но к последней из оставшихся цифр нужно прибавить 11.

Задачи для самостоятельного решения: #задание1