В названии темы есть слово уравнение – значит, речь пойдёт о каком-то математическом уравнении. В уравнении должны фигурировать какие-то величины. Если вы изучали предыдущие темы раздела #молекулярно-кинетическая теория, то, наверное, заметили, что в них было очень мало формул. А те формулы, что были – были совсем простыми. Пришло время формул посложнее. А для начала нам надо будет сказать о том, какие величины нам понадобятся. Перечислим их.

  1. Давление газа pp.
  2. Объём газа VV.
  3. Масса газа mm.
  4. Количество вещества газа ν\nu.
  5. Концентрация газа nn.
  6. Скорость молекул газа vv.
  7. Плотность газа ρ\rho.
  8. Масса одной молекулы газа m0m_0.
  9. Молярная масса MM.

Почти все эти величины вам уже встречались в предыдущих темах раздела #механика и первых темах раздела #молекулярная физика и термодинамика. Все, кроме скорости молекул газа vv. Со скоростью ничего сложного нет. Конечно же, все молекулы двигаются с разными скоростями. Но есть некоторая средняя скорость – среднеквадратичная скорость движения молекул. Что это за скорость – подробно рассматривать в школьной физике смысла нет. Это некоторая средняя скорость движения молекул.

Наша задача – получить уравнение, которое описывало бы связь между перечисленными величинами. Давайте попробуем вспомнить, что такое газ, помещённый в некоторый сосуд.

Как можно условно представить, что такое газ?

Газ можно представить как бильярдные шарики, которые лежат на дне коробки.

Газ можно представить как множество мелких упругих шариков, которые «летают» по сосуду, в котором они заключены, сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда.

Газ – это объёмная структура из шариков, которые жёстко связаны друг с другом и не двигаются друг относительно друга.

Газ – это шарики, которые прилипают к стенкам и находятся в месте прилипания к стенкам очень долго.

Мы предлагаем попробовать выразить давление газа через другие величины из нашего списка. Ниже будет видно, что на самом деле это можно сделать вполне даже несложно.

Давление. Отчего возникает давление газа не стенки сосуда?

Как вы думаете, почему возникает давление газа на стенки сосуда? Давление газа на стенки сосуда – это ...

... результат ударов беспорядочно двигающихся молекул газа о стенки сосуда.

... некоторая постоянная величина, которая никак напрямую не связана с молекулярной природой газа.

... результат действия силы притяжения Земли.

... результат действия сил трения между молекулами и стенками, а также между молекулами – друг с другом.

Далее – мы постараемся вывести связь давления газа с другими характеристиками газа. Возможно, схема, которую мы приводим ниже, поможет вам лучше понять, как выводится основное уравнение МКТ:

1. Давление газа – да и давление вообще – связано с силой. Кстати…

Какой формулой давление связано с силой (подсказка – такая формула была у нас в механике)?

p=SFp = \frac{S}{F}

p=Fhp = \frac{F}{h}

p=Fghp = F \cdot g \cdot h

p=FSp = \frac{F}{S}

Таким образом – чем больше сила FF, с которой молекулы газа «стукаются» о стенку – тем больше давление: pFp \sim F. Конечно, сила ударов всех молекул зависит от силы удара отдельной молекулы. (На величину площади SS мы пока не обращаем внимания, поскольку площадь не связана с тем, что непосредственно создаёт давление – не связана со скоростью молекул, с их ударами о стенку.)

2а. От чего зависит сила удара отдельной молекулы? Наш богатый жизненный опыт подсказывает нам, что чем больше будет скорость vv и масса «шарика» (молекулы) m0m_0 – тем сильнее будет «удар» молекулы о стенку.

Эту зависимость можно вывести из 2-го закона Ньютона. Обозначим силу удара отдельной молекулы F0F_0. По 2-му закону Ньютона F0=m0aF_0=m_0a. Эту формулу можно расписать:

F0=m0a=m0v2v1t=m0v2m0v1tF_0=m_0a= m_0 \frac{v_2 - v_1}{t} = \frac{m_0v_2 - m_0v_1}{t}.

Оказывается, что сила «удара» зависит от величины импульса тела.

Тогда и сила ударов всех молекул пропорциональна импульсу молекулы: Fm0vF \sim m_0 v.

2б. Общая сила «ударов» молекул будет тем больше, чем больше молекул находится в газе. Общее число молекул считать бессмысленно: не все молекулы будут «ударять» стенку. Имеет смысл считать, как много молекул содержится в единице объёма.

А что это за величина – число частиц в единице объёма?

Это общее число молекул NN.

Это масса одной молекулы m0m_0.

Это плотность газа ρ\rho.

Это концентрация газа nn.

Тогда получается, что сила также пропорциональна и концентрации газа: FnF\sim n.

2в. И последнее. Согласитесь, что ударов будет больше не только, если молекул будет больше, но и если молекулы будут «лететь» с бо́льшими скоростями – больше молекул будет «долетать» до стенки. Это значит, что сила также пропорциональна и скорости молекул: FvF \sim v.

В итоге у нас получился следующий набор фактов:

pFp \sim F,

Fm0vF \sim m_0v, FnF \sim n, FvF \sim v.

Или: pnm0vv=nm0v2p \sim n \cdot m_0v \cdot v = n \cdot m_0v^2,

то есть pnm0v2p \sim n \cdot m_0v^2.

Мы получили почти правильную формулу. Основное уравнение МКТ выглядит следующим образом:

p=13nm0v2p = \frac{1}{3} n \cdot m_0v^2

Множитель 13\frac{1}{3} «появляется» из-за трёхмерности нашего пространства – молекулы могут «лететь» не только вбок, но и вверх и вглубь:

Это основная формула. Из неё можно получить ещё несколько, если использовать формулы из разделов #механика и #молекулярная физика и термодинамика

Ещё разок приведём диаграмму, которая поясняет, каким образом можно связать давление газа с другими его характеристиками:

Выведем из основного уравнения МКТ еще две формулы.

А. Начнем с формулы, связывающей давление газа и энергию.

Не видно ли в формуле p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0v^2 выражения для какой-то энергии?

Видно выражение для потенциальной энергии поднятого тела.

Видно выражение для кинетической энергии движения тела.

Видно выражение для потенциальной энергии растянутой пружины.

Видно выражение для работы силы трения.

Чему будет равно давление газа, если в выражении p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0v^2 множитель m0v2m_0v^2 заменить на кинетическую энергию?

p=13nEkp = \frac{1}{3}n \cdot E_k

p=23nEkp = \frac{2}{3}n \cdot E_k

p=32nEkp = \frac{3}{2}n \cdot E_k

p=23nEkp = \frac{2}{3} \frac{n}{E_k}

Итак, давление газа на стенки сосуда связано с кинетической энергией движения одной молекулы по формуле

p=23nEkp = \frac{2}{3}n \cdot E_k

Б. Из основного уравнения МКТ p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0v^2 можно получить ещё одну формулу.

Выражение nm0n \cdot m_0 ничего вам не напоминает? Чему оно может быть равно?

M=nm0M = n \cdot m_0, где MM – молярная масса

N=nm0N = n \cdot m_0, где NN – количество молекул

ν=nm0\nu = n \cdot m_0, где ν\nu – количество вещества

ρ=nm0\rho = n \cdot m_0, где ρ\rho – плотность

Используя формулу ρ=nm0\rho = n \cdot m_0, можно получить новую формулу для давления газа:

{p=13nm0v2ρ=nm0p=13ρv2\begin{cases}p = \frac{1}{3} n \cdot m_0v^2\\\rho = n \cdot m_0\end{cases} \Rightarrow p = \frac{1}{3} \rho v^2

p=13ρv2p = \frac{1}{3}\rho v^2

Всего у нас получилось три формулы. Кажется, что это много, учитывая, что выражают они одно и то же. Однако запомнить можно только лишь одну, первую. Две другие мгновенно выводятся или вспоминаются, если вы помните выражение для кинетической энергии и выражение для плотности. Если собрать все формулы вместе, то будет легче их запомнить.

p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0v^2
p=23nEkp = \frac{2}{3}n \cdot E_k
p=13ρv2p = \frac{1}{3}\rho v^2

Порешаем задачи.

Условие

При неизменной плотности одноатомного идеального газа давление этого газа увеличивают в 44 раза.

При этом среднеквадратичная скорость движения его атомов

  1. увеличивается в 22 раза.
  2. увеличивается в 44 раза.
  3. увеличивается в 1616 раза.
  4. уменьшается в 44 раза.

(Источник: ЕГЭ-2014. Тренировочная работа от 10.12.2013)

Решение

Шаг 1. В задаче говорится про давление pp, про плотность ρ\rho и про скорость vv. Возможно, есть формула, которая связывает три эти величины.

Как правильно выглядит формула, связывающая давление pp, плотность ρ\rho и скорость vv?

ρ=13pv2\rho = \frac{1}{3}pv^2

p=13ρ2vp = \frac{1}{3}\rho^2v

p=23ρv2p = \frac{2}{3}\rho v^2

p=13ρv2p = \frac{1}{3}\rho v^2

Шаг 2. В задаче говорится о том, что плотность неизменна. Изменяется при этом давление газа, то есть изменяется левая часть равенства. Значит, должна изменяться и правая. Единственная оставшаяся величина, которая может изменяться, – это скорость.

Как вы думаете, во сколько раз должна была увеличиться скорость, чтобы давление увеличилось в 44 раза?

В 1616 раз.

В 44 раза.

В 22 раза.

В 12\frac{1}{2} раза.

Решим еще одну задачу.

Условие

В некотором запаянном сосуде находится газ. Газ сжимают так, что его объём уменьшается вдвое.

Как изменилось при этом давление газа, если дополнительно известно, что средняя квадратичная скорость увеличилась в 33 раза?

  1. Увеличилось в 22 раза.
  2. Увеличилось в 33 раза.
  3. Увеличилось в 99 раз.
  4. Увеличилось в 1818 раз.

Решение

Шаг 1. В задаче говорится про давление pp, про среднюю квадратичную скорость vv и про объём сосуда VV. Кажется, нет ни одной формулы, в которую бы входили все указанные величины. Хорошо. Пусть так. Возможно, есть формула, в которую входят хотя бы две из указанных величин.

Как вы думаете, какая/какие из формул (если их несколько) может/могут подойти?

p=13nm0v2p = \frac{1}{3}n \cdot m_0 v^2

p=FSp = \frac{F}{S}

p=13ρv2p = \frac{1}{3}\rho v^2

n=NVn = \frac{N}{V}

ρ=mV\rho = \frac{m}{V}

ν=NNA\nu = \frac{N}{N_A}

Шаг 2. В условии задачи также есть информация о том, что объём сосуда уменьшили в 22 раза.

Как можно применить этот факт в решении?

Никак применить нельзя, нас просто запутывают лишними данными.

Можно применить, если вспомнить, как выражаются концентрация или плотность вещества.

Можно применить, но мы ещё не прошли ту формулу, с помощью которой это можно сделать.

Можно применить, если вспомнить формулу для массы одной молекулы.

Шаг 3. Определим, как влияет уменьшение объема на концентрацию.

Как вы думаете – как изменится концентрация (или же плотность), если объём сосуда уменьшить в 22 раза?

Уменьшится в 2 раза.

Увеличится в 2 раза.

Уменьшится в 4 раза.

Увеличится в 4 раза.

Шаг 4. Концентрация, как мы выяснили, увеличилась в 22 раза, скорость – увеличилась в 33 раза.

Как вы думаете, как при этом изменилось давление газа?

Увеличилось в 22 раза.

Увеличилось в 33 раза.

Увеличилось в 99 раз.

Увеличилось в 1818 раз.

Задачи для самостоятельного решения: #основное уравнение мкт

  • Понравилось?