Что нужно знать

Это самая первая, вводная статья по теории вероятностей. Сама наука является достаточно самостоятельным разделом математики, и, чтобы понять её основы (а также для того, чтобы научиться решать простейшие задачи вроде задания 4 из ЕГЭ), нужно лишь уметь совершать арифметические действия с числами и дробями. Так что, если вам тяжело даются логарифмы и тригонометрия или совершенно непонятна производная, это никак не помешает вам разобраться в теории вероятностей.

Что вы узнаете

  • Что такое испытание и исход
  • Что такое случайное событие
  • Как искать вероятность

Понятие «вероятность» регулярно встречается в повседневной действительности. Все, наверное (вероятно!), слышали «вероятность дождя небольшая». А может, кидали кубики, надеясь на 6-6, и понимали, что на это не стоит рассчитывать. Или тянули билет на экзамене, зная достаточно тем, чтобы, скорее всего, вытащить удачный. Строго говоря, понятие математической вероятности далеко не всегда применимо к бытовым ситуациям. Но если взять теорию как основу для практической модели, то, сделав некоторые допущения, можно смело пользоваться её результатами. Неспроста большинство задач по теории вероятностей в ЕГЭ выглядит как «случаи из жизни». Попробуем разобраться с тем, как это работает.

Что такое испытание и исход

Испытанием в теории вероятностей называют какой-нибудь эксперимент (не обязательно научный). Например, подбросили монетку — испытание. Вытянули лотерейный билет — испытание. Провели жеребьёвку спортивного соревнования — тоже испытание. Вообще говоря, эксперимент должен быть повторяемым. То есть, чтобы мы могли говорить о вероятности, у нас должна быть возможность провести эксперимент не один (а если совсем строго, то сколько угодно) раз.

Если есть эксперимент, есть и возможные результаты — то, чем он может закончиться. Список возможных результатов можно составлять по-разному, но стандартный способ — выбрать максимальное дробление результатов. Например, при бросании кубика можно сказать, что есть два результата: {выпало 66} и {выпало не 66}, — но это не очень удобно, так как второй результат можно раздробить на более мелкие. Составляя список возможных результатов, мы должны также помнить, что два результата никогда не могут случиться одновременно (условие взаимоисключения).

Испытанием называется эксперимент с очерченным набором возможных взаимоисключающих результатов. Эти результаты называются исходами.

На столе лежит колода карт, а мы вытягиваем оттуда одну карту. Это пример случайного испытания. У этого испытания 5252 исхода, так как мы можем вытянуть любую из 5252 карт (в каждой из четырех мастей 1313 карт от двойки до туза).

Бросок обыкновенного игрального кубика является классическим примером испытания. Сколько исходов возможно у этого испытания?

Важно понимать, что список возможных результатов мы очерчиваем сами (исходя из «здравого смысла»). Так, при броске монеты мы считаем «возможным», что она упадёт вверх аверсом («орлом») или вверх реверсом («решкой»), просто не рассматривая возможности того, что монета встанет на ребро, будет проглочена пролетающей птицей и т.п. В то же время мы считаем несущественным, упадёт монета на стол или на пол, со звоном или бесшумно и пр.; мы ограничили себя двумя интересующими нас исходами.

Рассмотрим чуть более сложный пример: мы одновременно подкинули монету и бросили игральный кубик. Сколько (и каких) исходов у этого испытания?

Для ответа на этот вопрос попробуем составить список результатов. Для монеты: Орёл (О) и Решка (Р). Для кубика: 1, 2, 3, 4, 5, 6. А теперь посмотрим, что может быть с кубиком, если монета выпала на Орла? Но ведь кубику в некотором смысле «всё равно», как выпала монета (в теории вероятностей это называется «независимые события», но об этом позже). То есть для него по-прежнему возможны все 6 вариантов. То же самое и если она выпала на Решку. Значит, можно перечислить все возможные исходы подряд, в виде «результат монеты» — «результат кубика». Сделаем это:

О — 1О — 2О — 3О — 4О — 5О — 6всего 6
Р — 1Р — 2Р — 3Р — 4Р — 5Р — 6всего 6

Итого, 62=126\cdot 2=12 исходов — и мы перечислили все возможные.

Представим следующее испытание: два игральных кубика бросают одновременно. Сколько исходов будет в этом случае?

Что такое случайное событие

Случайное событие — это подмножество множества исходов испытания.

Но что же значит этот набор математических терминов? На самом деле, это просто что-то, что может произойти в результате испытания. Например, "монета выпала на орла" — это случайное событие, совпадающее с одним из исходов. А "на кубике выпало чётное число" — случайное событие, состоящее из трёх исходов (22, 44 и 66).

Любое случайное событие может состоять из одного или нескольких исходов испытания (тогда это событие возможно) или не содержать ни одного исхода (невозможное событие). Например, "выпало больше 77" — невозможное событие для испытания "бросание кубика". Отдельно определяют достоверное событие, то есть такое, которое включает в себя все исходы данного испытания.

Из скольки исходов состоит случайное событие "выпал дубль" (то есть одинаковые числа на кубиках) при испытании "бросание двух кубиков одновременно"?

Попробуйте ответить на вопрос посложнее:

Из скольки исходов состоит случайное событие "сумма очков на двух кубиках меньше 4"? Испытание то же — два кубика бросают одновременно.

Как считать вероятность события

Само понятие вероятность кажется интуитивно понятным: например, если идёт снег, то гораздо вероятнее, что на улице зима, чем лето. Но как выразить эту вероятность числом? И по какой шкале её мерить? Нередко говорят "вероятность этого 50%50\%" — но что это значит? И что будет означать "стопроцентная" или "нулевая" вероятность ? Чтобы ответить на этот вопрос, мы дадим классическое определение вероятности, которое будет применимо во всех школьных задачах. Для этого нам понадобится вспомогательное определение.

Исходы, входящие в событие, называются благоприятными для этого события.

Прежде чем перейти к классическому определению вероятности, заметим, что для его применения требуется выполнение определённого условия — равновозможности всех исходов. Это условие может быть недостаточно строго определено, но интуитивно оно понятно. Например, если в качестве исходов при бросании монеты выбрать «орёл», «решка» и «ребро», то классическое определение вероятности применять нельзя, так как шансы на последний исход меньше, чем на первые два. А если выбрать только «орёл» и «решка», то можно — ведь нет никаких оснований считать один исход более частым, чем другой.

Итак, пусть у нас есть испытание с определённым набором равновозможных исходов. Вероятностью некоторого случайного события называется отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов испытания.
P{Событие A}=Число исходов, благоприятных для AОбщее число исходовP\{\text{Событие }A\}=\frac{\text{Число исходов, благоприятных для } A}{\text{Общее число исходов}}

Из классического определения видно, что вероятность — числовая величина, принимающая значения от 00 до 11. Вероятность никогда не бывает отрицательной и никогда не бывает больше 11. На практике вероятность иногда выражают в процентах, в этом случае 100%100\% соответствуют вероятности 11.

Конечно, «в жизни» в основном встречаются ситуации, когда одни исходы встречаются чаще других, и тогда нужно использовать скорректированное определение вероятности. Но в школьных задачах исходы всегда одинаково ожидаемы, так что для нахождения вероятности нужно только правильно посчитать количество исходов, входящих в событие, и общее количество исходов испытания, после чего поделить одно на другое.

Рассмотрим пример. Из стандартной колоды карт (от двойки до туза) наугад вытащили одну карту. Какова вероятность, что эта карта — с цифрой?

Для начала нужно определить набор равновозможных исходов. В данном случае естественно будет взять его совпадающим с набором карт. Тогда всего исходов будет 52,52, и никаких оснований считать какие-либо более вероятными, чем другие, у нас нет. Осталось узнать число благоприятных исходов, то есть карт с цифрами. Всего таких карт в каждой масти девять: 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 и 1010. Мастей в свою очередь четыре, значит всего карт с цифрами 3636. Следовательно, искомая вероятность равна 3652=913\frac{36}{52}=\frac{9}{13}.

Отметим, что вероятность невозможного события будет равна нулю, поскольку числитель дроби (число благоприятных исходов) будет равен 00.

Чему равна вероятность достоверного события?

Попробуйте решить несложную задачу, чтобы убедиться, что всё понятно.

В классе 21 человек, среди них 2 Саши. Классный руководитель назначил дежурной Настю и случайным образом выбирает ей напарника. Какова вероятность, что напарником окажется Саша? (Запишите ответ в виде десятичной дроби.)

Эту статью написал для вас Сергей Вальковский, учитель математики Центра образования "Пятьдесят седьмая школа", Москва.