Теорема о произведении вероятностей

Вероятность произведения двух независимых событийA\,A и BB равна произведению вероятностей событий: P(AB)=P(A)P(B)P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B).

Пусть, например, одновременно бросают два кубика. Количество очков, выпавших на кубиках, можно считать независимыми событиями. Поэтому вероятность того, что на обоих кубиках выпадет 66 очков, равна 1616=136\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{36}.

Вероятность произведения двух зависимых событийA\,A и BB равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)P(BA)P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B|A).

Приведем пример пары событий, для которых выполняется формула P(AB)=P(A)P(BA)P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B|A), но не выполняется формула P(AB)=P(A)P(B)P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B). Для любого дня в октябре вероятность того, что в Лондоне идет дождь, равна 0,30,3. При этом если в какой-то день шел дождь, то вероятность того, что на следующий день пойдет дождь, равна 0,70,7. Найдем вероятность того, что и 1-го и 2-го октября следующего года в Лондоне будет идти дождь: она равна P(AB)=P(A)P(BA)=0,30,7=0,21P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B|A)=0,3\cdot 0,7=0,21. В последнем равенстве события AA и BB соответственно означают, что 1-го и 2-го октября следующего года будет идти дождь.
Легко видеть, что если вычислять вероятность по формуле P(AB)=P(A)P(B)P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B), то мы получим заниженную оценку: 0,090,09. Это связано с тем, что события AA и BB — зависимые, поскольку вероятность дождя 2-го октября зависит от того, был ли дождь 1-го октября.

Рассмотрим еще один пример:

Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик.
Рассмотрим события:
AA: шарик красного цвета,
BB: шарик из первой вазы.
В первой вазе было 2424 шарика, а во второй — 1212. Поэтому вероятность того, что шарик из первой вазы, равна P(B)=23P(B)=\frac{2}{3}. Поскольку доля красных шариков в первой вазе равна 13\frac{1}{3}, то P(AB)=13P(A|B)=\frac{1}{3}.
Тогда P(AB)=P(B)P(AB)=2313=29P(A\cdot B)=P(B)P(A|B)=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}.
Можно проверить результат: всего в двух вазах 3636 шариков, из них 88 красные из первой вазы. Поэтому P(AB)=836=29P(A\cdot B)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9}.

Теорема о сумме вероятностей

Вероятность суммы двух несовместных событийA\,A и BB равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B).

Вероятность суммы двух совместных событийA\,A и BB равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A\cdot B).

Если изобразить события AA и BB в виде множеств на плоскости, то легко убедиться, что эти утверждения выполняются.

Следующие примеры иллюстрируют эти утверждения:

1. Несовместные события. Вероятность того, что на кубике выпало число очков, кратное трем равно сумме вероятностей того, что на кубике выпало 33 очка и 66 очков.
2. Совместные события. Пусть событие AA состоит в том, что число очков на кубике кратно 33, а BB в том, что оно кратно двум. Событие AA состоит из двух результатов, а BB — из трех: A=3,6A={3,6}, B=2,4,6B={2,4,6}. Сумма событий A+BA+B состоит из четырех результатов: 2,3,4,6{2,3,4,6}, а пересечение — из одного результата: AB=6A\cdot B={6}. Легко видеть что последнее равенство выполняется: P(A+B)=46=26+3616=P(A)+P(B)P(AB)P(A+B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=P(A)+P(B)-P(A\cdot B).

Формула полной вероятности

Если B1,B2,...,BnB_1,B_2,...,B_nнесовместные и в сумме дают достоверное событие, то вероятность события AA можно вычислить, зная вероятности событий B1,B2,...,BnB_1, B_2,...,B_n, а также условные вероятности этого события в предположении событий B1,B2,...,BnB_1, B_2,...,B_n. Выполняется следующая формула:

P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+...+P(ABn)P(Bn).P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+...+P(A|B_n)\cdot P(B_n).

Следующий пример показывает, что эта формула верна:

Во время испытания смешали шарики из двух ваз и вытащили случайный шарик.
Рассмотрим события:
AA: шарик красного цвета,
B1B_1: шарик из первой вазы,
B2B_2: шарик из второй вазы.
Поскольку доля красных шариков в первой вазе равна 13\frac{1}{3}, а во второй вазе равна 12\frac{1}{2}, то условные вероятности равны P(AB1)=13P(A|B_1)=\frac{1}{3} и P(AB2)=12P(A|B_2)=\frac{1}{2}.
В первой вазе 2424 шарика, а во второй — 1212 шариков. Поэтому вероятности событий B1B_1 и B2B_2: P(B1)=23P(B_1)=\frac{2}{3}, P(B2)=13P(B_2)=\frac{1}{3}.
Тогда вероятность вытащить красный шарик:
P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)=P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=1323+1213=29+16=718\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3} +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}+\frac{1}{6}=\frac{7}{18}.
Можно проверить результат: всего в двух вазах 3636 шариков, из них 1414 красных. Поэтому P(A)=1436=718P(A)=\frac{14}{36}=\frac{7}{18}.