Параллелепипед — это призма, основанием которой служит параллелограмм.

Все грани параллелепипеда — параллелограммы.

Объем параллелепипеда выражается с помощью той же формулы, что и объем призмы: V=hSоснV=hS_{осн}.

При этом, поскольку основание параллелепипеда — это параллелограмм, то площадь основания можно найти по формуле: Sосн=absin(a,b)S_{осн}=ab\sin\angle (a,b), где aa и bb — стороны параллелограмма, а (a,b)\angle (a,b) — угол между ними.

Заметим, что в качестве основания мы можем выбрать любую грань параллелепипеда, а не только ту, на которой он "стоит". При этом при вычислении площади через hh нужно обозначить длину высоты, опущенной на эту грань.

Как и для призмы, высоту можно найти по формуле h=csinαh=c\sin\alpha, где α\alpha — угол наклона ребра cc.

Воспользуйтесь этим свойством для решения следующей задачи.

Угол одной из граней параллелепипеда равен 3030^{\circ}, боковое ребро наклонено под углом 6060^{\circ} к этой грани. Чему равен объем параллелепипеда, если все ребра равны 3\sqrt{3}?

Важный частный случай параллелепипеда — это прямоугольный параллелепипед.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, все грани которого — прямоугольники.

Элементы такого параллелепипеда искать особенно легко. Если aa, bb и cc — длины сторон параллелепипеда, то

  • Объем равен V=abcV=abc,
  • Площадь поверхности равна S=2(ab+bc+ac)S=2(ab+bc+ac),
  • Диагональ равна d=a2+b2+c2d=\sqrt{a^2+b^2+c^2} (диагональ соединяет противоположные вершины прямоугольного параллелепипеда).

Используйте одну из этих формул, чтобы решить следующую задачу.

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 11 и 22. Чему равно третье ребро, если площадь поверхности параллелепипеда равна 1616?

Еще одно платоново тело, куб, является частным случаем прямоугольного параллелепипеда.

Куб

Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Легко убедиться, что для куба выполняются следующие свойства:

  • Все ребра куба равны, все грани куба — равные квадраты;
  • В куб можно вписать сферу, вокруг куба можно описать сферу;
  • Все диагонали куба пересекаются в одной точке.

Куб полностью определяется длиной стороны. Если aa — сторона куба, то мы можем найти любой другой элемент:

  • Объем куба — V=a3V=a^3,
  • Площадь поверхности куба — S=6a2S=6a^2,
  • Диагональ куба — d=3ad=\sqrt{3}a,
  • Диагональ грани — dграни=2ad_{грани}=\sqrt{2}a,
  • Радиус вписанной сферы — r=a2r=\frac{a}{2},
  • Радиус описанной сферы — R=32aR=\frac{\sqrt{3}}{2} a.

Попробуйте вывести эти формулы, используя формулы для прямоугольного параллелепипеда, а также формулы планиметрии (например, теорему Пифагора). Если вы научитесь выводить эти формулы, то вам легче будет их запомнить. Кроме того вы всегда сможете проверить себя, что поможет избежать ошибок при решении задач.

Задачи для самостоятельного решения: #параллелепипед

  • Понравилось?