F(x)F(x)первообразная функции f(x)f(x), если производная функции F(x)F(x) равна f(x)f(x).

Основные свойства:

  • Если F(x)F(x) — первообразная функции f(x)f(x), то F(x)+CF(x)+C — тоже первообразная;
  • F(b)F(a)F(b)-F(a) равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x)f(x), осью xx и прямыми x=ax=a и x=bx=b (площадь ниже оси xx берется со знаком "-").

Связь площади криволинейной трапеции и первообразной

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком функции f(x)f(x), осью xx и прямыми x=ax=a и x=bx=b.

Основное свойство криволинейной трапеции:

Если F(x)F(x) — одна из первообразных функции f(x)f(x), то F(b)F(a)F(b)-F(a) равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью xx и прямыми x=ax=a и x=bx=b. При этом если часть графика функции f(x)f(x) проходит ниже оси xx, то площадь этой части криволинейной трапеции следует брать со знаком минус.

Это свойство позволяет найти площадь криволинейной трапеции, зная первообразную, и наоборот, разность значений первообразной в двух точках, зная площадь криволинейной трапеции.

Используем связь криволинейной трапеции и первообразной для решения следующей задачи:

На рисунке изображен график некоторой функции y=f(x)y=f(x). Пользуясь рисунком, вычислите F(7)F(5)F(7)-F(5), где F(x)F(x) — одна из первообразных функции f(x)f(x).

Разность F(7)F(5)F(7)-F(5) равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью xx и прямыми x=5x=5 и x=7x=7.
Площадь фигуры под графиком равна 33. Поэтому F(7)F(5)=3F(7)-F(5)=3.

  • Понравилось?
  • 1