Пирамида — это многогранник, у которого одна грань, называющаяся основанием пирамиды, — многоугольник (любой), а другие грани — треугольники, выходящие из одной точки, которая называется вершиной пирамиды.

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.

Отрезок, проведенный из вершины к основанию пирамиды и перпендикулярный плоскости основания, называется высотой пирамиды.

Объем пирамиды равен V=13SоснhV=\frac{1}{3} S_{осн}h, где hh — высота пирамиды, а SоснS_{осн} — площадь основания.

:cut Узнать, как это доказывается

Эту теорему можно доказать с помощью интегрирования. Для этого воспользуемся тем, что если выбрать некоторую числовую ось в пространстве, то объем тела можно представить в виде интеграла abS(x)dx\int_{a}^{b} S(x)\,dx, где S(x)S(x) — площадь сечения, перпендикулярного оси, проведенного через точку xx на оси.
Если проводить сечения, параллельные основанию пирамиды, на разной высоте, то будут получаться многоугольники, подобные основанию пирамиды. Чем ближе сечение к вершине, тем меньше его площадь. Сечение на расстоянии hh от вершины совпадает с основанием, на расстоянии 00 — точка. Сечение на расстоянии xx — многоугольник, подобный основанию с коэффициентом xh\frac{x}{h}. Его площадь равна S(x)=(xh)2SоснS(x)=(\frac{x}{h})^2\cdot S_{осн}.
Объем пирамиды — это 0hS(x)dx\int_{0}^{h} S(x)\,dx, где S(x)S(x) — площадь сечения на расстоянии xx от вершины. То есть объем пирамиды равен
V=0h(xh)2Sоснdx=Sосн/h20hx2dx=Sосн/h2x330h=Sосн/h2h33=13SоснhV=\int_{0}^{h} (\frac{x}{h})^2 S_ {осн}\,dx={S_{осн} }/{h^2}\int_{0}^{h} x^2 \,dx= {S_{осн} }/{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}|^h_0={S_{осн} }/{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}=\frac{1}{3} S_{осн}h.

Еще одна формула объема (для треугольной пирамиды) используется в более сложных задачах: V=16abdsinγV=\frac{1}{6} abd\sin \gamma, где aa и bb — противоположные (скрещивающиеся) ребра, dd — расстояние между ними, а γ\gamma — угол между ними.

Для решения задания 8 эту формулу помнить не нужно, а вот для задания 14 она может пригодиться.

Чему равен объем пирамиды с высотой 2м2\, м и площадью основания 3м23\, м^2?

м3м^3

А чему равна площадь основания пирамиды с высотой 33 и объемом 11?

Во многих задачах требуется найти площадь полной или боковой поверхности пирамиды. Боковая поверхность складывается из поверхностей боковых граней. Полная поверхность состоит из боковой поверхности и основания пирамиды.

Поскольку боковые грани пирамиды — это треугольники, то площадь боковой грани равна половине произведения основания этой грани на высоту этой грани.

Далее мы рассмотрим особый случай пирамиды — правильную пирамиду.

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из его вершины, называется апофемой.

Если ребро основания правильной nn-угольной пирамиды равно aa, а апофема равна ll, то площадь боковой поверхности можно найти по формуле: Sбок.=12nal.S_{\text{бок.}}=\frac{1}{2} nal.

Воспользуйтесь этой формулой, чтобы решить следующие две задачи:

У пирамиды все 44 боковые грани равны друг другу, а в основании лежит квадрат. Ее апофема равна 22 м, а сторона основания равна 11 м. Чему равна площадь поверхности пирамиды?

Сколько вершин имеет правильный многоугольник, который лежит в основании правильной пирамиды, если высота боковой грани, проведенная из вершины, равна 44, ребро основания равно 11, а площадь боковой поверхности равна 1010?

У некоторых многогранников (не у всех) существует вписанная или описанная сфера.

Вписанная сфера — это сфера, которая касается всех граней многогранника. Описанная сфера — сфера, на которой лежат все вершины многогранника.

Проверьте свою пространственную интуицию, ответив на следующий вопрос:

Отметьте все свойства, которые обязательно должны быть выполнены в правильной пирамиде. То есть свойства, которые следуют из определения пирамиды:

Все боковые ребра пирамиды равны друг другу;

Все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания;

Все ребра пирамиды равны друг другу;

Боковые грани являются равными треугольниками;

Боковые грани являются равнобедренными треугольниками;

Боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания;

Боковые грани являются правильными треугольниками;

В правильную пирамиду можно вписать сферу;

Вокруг правильной пирамиды можно описать сферу.

:cut Узнать доказательства некоторых свойств

Докажем, что боковые ребра равны друг другу. Каждое боковое ребро является гипотенузой прямоугольного треугольника, два катета которого — это высота пирамиды и отрезок, соединяющий центр основания с одной из вершин основания. Поскольку основание — это правильный многоугольник, то все такие отрезки равны — они являются радиусами окружности, описанной вокруг этого многоугольника. Поэтому все эти прямоугольные треугольники равны (равенство прямоугольных треугольников по двум катетам). Поэтому боковые ребра тоже равны друг другу.

Из этого свойства напрямую следует, что все боковые грани — равнобедренные треугольники, притом равные друг другу (признак равенства треугольников по трем сторонам: боковые ребра равны друг другу и ребра основания равны друг другу). То есть всебоковые грани равны друг другу.

Остальные свойства можете попробовать доказать самостоятельно. Для того, чтобы доказать, что боковые грани одинаково наклоненые к плоскости основания и что ребра одинаково наклонены к плоскости основания, нужно знать, что такое угол между плоскостями и угол между прямой и плоскостью. Об этом рассказывается в уроке Основные теоремы стереометрии

Частный случай пирамиды, который бы заинтересовал Платона, — это правильный тетраэдр.

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.

Площадь поверхности, объем, высоту и другие элементы правильного тетраэдра можно найти, если знать, чему равно ребро правильного тетраэдра. Зная только лишь длину одного ребра правильного тетраэдра, мы знаем о нем все.

Для правильного тетраэдра выполняются следующие свойства:

  • Все 44 грани правильного тетраэдра — равносторонние треугольники;
  • Все двугранные углы (углы между двумя гранями) тетраэдра равны друг другу;
  • Все высоты тетраэдра, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке и проходят через центры противоположных граней;
  • Точка пересечения высот совпадает с центром вписанной и описанной окружности;
  • Высоты делятся точкой пересечения в отношении 3:13:1, считая от вершины;
  • Противоположные ребра тетраэдра перпендикулярны друг другу.

Теперь запишем основные формулы. Если сторона тетраэдра равна aa, то тогда

  • площадь его поверхности равна S=3a2S=\sqrt{3}a^2;
  • объем равен V=212a3V=\frac{\sqrt{2}}{12} a^3;
  • высота равна h=23ah=\sqrt{\frac{2}{3}} a;
  • радиус вписанной сферы равен r=612ar=\frac{\sqrt{6}}{12} a;
  • радиус описанной сферы равен R=64aR=\frac{\sqrt{6}}{4} a.

Заучивать все формулы без разбора — это довольно бесполезное занятие. Формулы, записанные выше, используются не так часто, и при этом их можно легко вывести из основных формул.

Например, площадь поверхности правильного тетраэдра можно найти, если умножить площадь равностороннего треугольника со стороной aa на число граней тетраэдра: 434a24\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2.

Площадь равностороннего треугольника тоже легко вывести, используя следующую формулу площади треугольника: S=12absinγS=\frac{1}{2} ab\sin \gamma (эту формулу знать обязательно!). С ее помощью легко найти площадь равностороннего треугольника: S=12a2sin60=12a232=34a2S=\frac{1}{2} a^2 \sin 60^{\circ}=\frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2.

В стереометрии важно понимать, как связаны друг с другом различные элементы тел, и помнить основные формулы планиметрии, такие как формула площади треугольника и параллелограмма. Выучите самые основные формулы стереометрии, такие как формула объема пирамиды и призмы, и научитесь выводить все остальные формулы.

Очень часто ключом к решению является первый шаг, который позволит свести задачу по стереометрии к планиметрии.

Какой первый шаг нужно сделать, чтобы найти высоту AHAH правильного тетраэдра ABCDABCD со стороной aa (считайте, что формулы высоты и объема тетраэдра нам не известны)?

Рассмотреть сечение, проходящее через высоту и боковое ребро пирамиды

Выразить высоту, используя формулу площади грани

Применить теорему Пифагора к треугольнику в основании пирамиды

:cut Узнать, как вывести остальные формулы

  • V=13Sоснh=13(34a2)(23a)=212a3V=\frac{1}{3} S_{осн}h=\frac{1}{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{4} a^2)\cdot (\sqrt{\frac{2}{3}} a)=\frac{\sqrt{2}}{12} a^3.
  • Если в многогранник можно вписать сферу, то для него выполняется такое соотношение: V=13SrV=\frac{1}{3} Sr, где SS — площадь боковой поверхности пирамиды, а rr — радиус вписанной сферы (сравните с формулой S=prS=pr для вписанной окружности в многоугольник). Из этой формулы rr можно выразить: r=3VS=3212a3:(3a2)=612ar=\frac{3V}{S}=3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 : (\sqrt{3}a^2)=\frac{\sqrt{6}}{12} a.
  • Радиус описанной окружности — это расстояние от центра тетраэдра до вершины. Оно равно 34\frac{3}{4} высоты. То есть R=3423a=64aR=\frac{3}{4}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}a=\frac{\sqrt{6}}{4} a.

Задачи для самостоятельного решения: #пирамида

  • Понравилось?