Подобные треугольники

Подобные треугольники — треугольники, у которых соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны сходственным сторонам. То есть ABCA1B1C1\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_1B_1C_1 означает, что A=A1\angle A=\angle A_1, B=B1\angle B=\angle B_1, C=C1\angle C=\angle C_1, ABA1B1=BCB1C1=ACA1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}. Отношение k=ABA1B1k=\frac{AB}{A_1B_1} называется коэффициентом подобия.

Признаки подобия

Для того чтобы треугольники ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 были подобны, достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1. У ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 есть две пары равных углов, например A=A1\angle A=\angle A_1 и B=B1\angle B=\angle B_1;

2. У ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 есть пара равных углов, примыкающие к ним стороны пропорциональны, например A=A1\angle A=\angle A_1 и ABA1B1=ACA1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1};

3. У ABC\bigtriangleup ABC и A1B1C1\bigtriangleup A_1B_1C_1 стороны пропорциональны: ABA1B1=ACA1C1=BCB1C1\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BC}{B_1C_1}.

Подобные фигуры

Подобные фигуры — фигуры, у которых можно сопоставить точки таким образом, что для любой пары точек AA и BB первой фигуры и соответствующих им точек A1A_1 и B1B_1 второй фигуры выполняется соотношение AB=kA1B1AB=k\cdot A_1B_1, где kk — некоторая постоянная величина. Величина kk называется коэффициентом подобия.

Свойства подобных фигур

  • Соответствующие углы подобных многоугольников равны;
  • Если многоугольник имеет больше трех вершин, то
  • Из равенства только соответствующих углов многоугольников еще НЕ следует подобие фигур;
  • Из пропорциональности всех сторон еще НЕ следует подобие (равенство AB=kA1B1AB=k\cdot A_1B_1 должно выполняться для любой пары точек фигуры, не только для стороны многоугольника)
  • При гомотетии получаются подобные фигуры;
  • Площади подобных фигур отличаются в k2k^2 раз, то есть S=k2S1S=k^2\cdot S_1.

Примеры:
1. Все правильные шестиугольники подобны друг другу;
2. Квадрат и ромб не подобны друг другу, хотя у любого квадрата и ромба стороны пропорциональны;
3. Прямоугольник и квадрат НЕ подобны друг другу, хотя у них все углы равны 90º.

  • Понравилось?