Показательное уравнение — это уравнение, в котором неизвестная входит в показатели степеней при постоянных основаниях.

Показательное уравнение в ЕГЭ может иметь вид bh(x)=ck(x)b^{h(x)}=c^{k(x)}, где b>0b\gt 0, b1b\neq 1 и c>0c\gt 0, c1c\neq 1.

  • Приведите левую и правую части уравнения к одному основанию, так чтобы оно приняло вид af(x)=ag(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}.
  • Примените метод отбрасывания оснований.
  • Решите уравнение f(x)=g(x)f(x)=g(x).

Решим уравнение (12)x3=16x(\frac{1}{2})^{x-3}=16^x.
Основание левой части уравнения равно 12=21\frac{1}{2}=2^{-1}.
Основание правой части уравнения равно 16=2416=2^4.
Исходное уравнение можно переписать в виде (21)x3=(24)x(2^{-1})^{x-3}=(2^4)^x.

По формулам действия со степенями23x=24x2^{3-x}=2^{4x}.

Применив метод отбрасывания оснований, получаем 3x=4x5x=3x=35.3-x=4x\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,5x=3\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x=\frac{3}{5} {.}

Метод отбрасывания оснований

Если уравнение (неравенство) можно записать в виде af(x)ag(x)a^{f(x)} \vee a^{g(x)}, то тогда

  • При a>0a\gt 0 и a1a\neq 1: af(x)=ag(x)f(x)=g(x)a^{f(x)}=a^{g(x)}\, \Leftrightarrow \, f(x)=g(x);
  • При a>1a\gt 1: af(x)>ag(x)f(x)>g(x)a^{f(x)} \gt a^{g(x)}\, \Leftrightarrow \, f(x)\gt g(x);
  • При a<1a\lt 1: af(x)>ag(x)f(x)<g(x)a^{f(x)} \gt a^{g(x)}\, \Leftrightarrow \, f(x) \lt g(x).
  • Понравилось?