Производная

Производная — это скорость изменения функции. Она показывает, как сильно будет изменяться значение функции при небольшом изменении переменной. Теперь дадим формальное определение.

Производная — это предел отношения приращения функции (Δy\Delta y) к приращению ее аргумента (Δx\Delta x) при стремлении его к нулю. y(x)=limΔx0ΔyΔxy'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Геометрический смысл производной

Производная в точке x0x_0 равна коэффициенту наклона (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции в точке x0x_0: y(x)=tgαy'(x)=\text{tg} \alpha.

Геометрический смысл производной применяется при исследовании свойств функций:

  • если f(x0)=tgα>0f'(x_0)=\text{tg}\alpha \gt 0, то касательная направлена вправо вверх, и функция возрастает;
  • если f(x0)=tgα<0f'(x_0)=\text{tg}\alpha \lt 0, то касательная направлена вправо вниз, и функция убывает;
  • если f(x0)=tgα=0f'(x_0)=\text{tg}\alpha =0, то касательная является горизонтальной прямой, и x0x_0критическая точка.

Используя геометрический смысл, можно по графику функции найти производную в точке. Для этого необходимо провести касательную и отметить на ней любые две точки (удобно использовать точки с целыми координатами). Если (x1;y1)(x_1;y_1) — координаты первой точки, а (x2;y2)(x_2;y_2) — координаты второй точки, то производная равна y2y1x2x1\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

На чертеже показан график функции y(x)=x24x+5y(x)=x^2-4x+5 и ее касательная в точке x0x_0. По графику видно, что производная функции y(x)=x24x+5y(x)=x^2-4x+5 в точке x0=3x_0=3 равна 22.

Уравнение касательной

Касательная к графику функции является прямой, а потому является графиком линейной функции: y=kx+by=kx+b. Уравнение касательной к графику функции y=f(x)y=f(x) в точке (x0;y0)(x_0;y_0) можно вывести воспользовавшись геометрическим смыслом производной. Коэффициент наклона касательной должен быть равен производной в точке x0x_0: f(x0)f'(x_0), а значение в точке x0x_0 равно f(x0)f(x_0).

Поэтому касательная к графику функции y=f(x)y=f(x) в точке (x0;y0)(x_0;y_0) задается формулой y=f(x0)+f(x0)(xx0)y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).

С помощью этой формулы легко найти уравнение касательной, например, к графику функции y(x)=x24x+5y(x)=x^2-4x+5 в точке x0=3x_0=3. В этом случае f(x0)=f(3)=3243+5=2f(x_0)=f(3)=3^2-4\cdot 3+5=2, а f(x0)=2f'(x_0)=2. Поэтому уравнение касательной: y=2+2(x3)y=2+2\cdot (x-3) или, что то же самое, y=2x4y=2x-4.

Физический смысл производной

Скорость vv материальной точки при прямолинейном движении по прямой равна производной координаты xx как функция от времени tt: v(t)=x(t)v(t)=x'(t).

Например, если точка движется по закону x(t)=gt22x(t)=\frac{gt^2}{2}, то скорость точки равна v(t)=x(t)=gtv(t)=x'(t)=gt.

Приведем несколько других примеров из физики.

  • Среднее ускорение материальной точки выражается формулой a=v(t+Δt)v(t)Δta=\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}, где v(t)v(t) — скорость материальной точки в момент времени tt.
  • Мгновенное ускорение точки равно a=limΔt0v(t+Δt)v(t)Δt=dvdt=va=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{v(t+\Delta t)-v(t)}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}=v'.
  • Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением F=dpdt=pF=\frac{dp}{dt}=p'.
  • Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока: I=dqdt=qI=\frac{dq}{dt}=q'.
  • В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OxOx, напряженность и потенциал связаны соотношением E=dφdt=φE=-\frac{d\varphi }{dt} =-\varphi '.

Как решать задачи на физический смысл производной

В задачах на физический смысл производной нужно, зная закон движения материальной точки x(t)x(t), найти ее скорость в определенный момент либо определить момент времени, когда достигалась определенная скорость.

Первый шаг — это вычисление производной в соответствии с правилами дифференцирования.

После этого можно найти скорость в определенный момент времени, подставив соответствующее значение tt.

Если же нужно найти момент времени, когда достигалась определенная скорость v0v_0, то нужно решить уравнение x(t)=v0x'(t)=v_0 относительно tt.

Применим этот подход при решении следующей задачи:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=16t3t2+16x(t)=\frac{1}{6} t^3-t^2+16 (где xx — расстояние от точки отсчета в метрах, tt — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 9696 м/с?

Найдем производную функции x(t)x(t): x(t)=(16t3t2+16)=12t22tx'(t)=(\frac{1}{6} t^3-t^2+16)'=\frac{1}{2} t^2-2t.

Остается решить квадратное уравнение12t22t=96\frac{1}{2} t^2-2t=96:
D=4+41296=196=142t1=2+14=16,t2=214=12.D={4+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 96}=196=14^2 \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, t_1=2+14=16, \,\,\,\, t_2=2-14=-12.
tt — положительное число. Поэтому t=16t=16.