Преобразование обыкновенных и десятичных дробей

Что вы узнаете

  • Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
  • Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Если вам нужно сложить или умножить обыкновенную дробь и десятичную, обязательно преобразуйте десятичную дробь в обыкновенную. Сделать это очень просто.

Конечную десятичную дробь a0,a1a2...ana_0,a_1a_2...a_n (aia_i — это цифры) можно представить в виде обыкновенной дроби a0a1a2...an10n\frac{a_0a_1a_2...a_n}{10^n} или в виде смешанной a0a1a2...an10na_0\frac{a_1a_2...a_n}{10^n}.

Например:

1,63=163100=1631001,63=\frac{163}{100}=1 \frac{63}{100}.

Если получившийся числитель делится на 22 или 55, то дробь можно сократить.

Например:

1,5=1510=321,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.

Соответствие некоторых десятичных дробей обыкновенным нужно просто помнить:

0,25=140,25=\frac{1}{4},

0,5=120,5=\frac{1}{2},

0,125=180,125=\frac{1}{8},

0,2=150,2=\frac{1}{5} и т.д.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Можно выполнить и обратное преобразование. Правда, далеко не любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь.

В задачах первой части ЕГЭ ответ необходимо записать в виде десятичной дроби. Поэтому важно научиться быстро и без ошибок преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные.

Самый бесхитростный способ получить из обыкновенной дроби десятичную — поделить в столбик.

Такой способ, тем не менее, не позволит быстро выяснить, можно ли вообще представить дробь в виде конечной десятичной дроби. Например, можно безуспешно делить в столбик 77 на 2424 и получать все новые цифры (а может быть, где-то раньше была ошибка и на самом деле вы делили зря, а правильный ответ — 725=28100=0,28\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=0,28).

Поэтому мы опишем способ, на первый взгляд более сложный, который сэкономит вам кучу времени на экзамене или контрольной.

Итак, какие дроби можно представить в виде конечной десятичной? Дробь a10k\frac{a}{10^k}, где aa — любое целое число, — можно.

Например, 7100=0,07\frac{7}{100}=0,07,

123451000=12,345\frac{12345}{1000}=12,345.

К десятичной дроби можно привести и такие дроби, как 12=0,5\frac{1}{2}=0,5, \,\,25=0,4\frac{2}{5}=0,4 или 38=0,375\frac{3}{8}=0,375.

Сформулируем критерий того, что обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

Обыкновенную дробь ab\frac{a}{b} или смешанную дробь cabc \frac{a}{b} можно преобразовать в конечную десятичную дробь, если после сокращения среди простых делителей bb есть только 22 и/или 55.

Дроби 12\frac{1}{2} и 1781 \frac{7}{8} явно удовлетворяют этому условию, потому что их знаменатели – степени числа 22. Также ему удовлетворяет, например, дробь 624\frac{6}{24}, поскольку она равна 14\frac{1}{4}, а знаменатель 44 тоже степень числа 22.

Число, среди простых делителей которого есть только 22 и 55, легко распознать. Первые несколько цифр такого числа всегда образуют степень двойки или степень пятерки, а все остальные цифры (если они есть) — нули.

Например 44, \,\,128000128000 и 25002500 удовлетворяют такому свойству, а 125001125001 или 3030 — нет.

Чтобы пользоваться этим свойством, запомните наизусть первые несколько степеней двойки и пятерки:

21=22^1=2
22=42^2=4
23=82^3=8
24=162^4=16
25=322^5=32
26=642^6=64
27=1282^7=128
28=2562^8=256
29=5122^9=512
210=10242^{10}=1024
51=55^1=5
52=255^2=25
53=1255^3=125
54=6255^4=625
55=31255^5=3125

Отметьте теперь все дроби, которые можно преобразовать в конечную десятичную:

1421\frac{14}{21}

1830\frac{18}{30}

515\frac{5}{15}

332\frac{3}{32}

1171251 \frac{17}{125}

Отлично, теперь разберемся, как привести дробь к десятичной.

Конечно, можно просто поделить числитель на знаменатель в столбик. Если мы уже знаем, что число можно привести к конечной десятичной дроби, то при делении мы ее получим. Но есть и более эффективный способ.

Чтобы привести дробь к десятичной, нужно умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилась степень числа 1010.

Например, 340=3254025=751000=0,075\frac{3}{40}=\frac{3\cdot 25}{40\cdot 25}=\frac{75}{1000}=0,075.

Ранее мы говорили, что у знаменателя после сокращения первые несколько цифр образуют степень двойки или степень пятерки, а все остальные цифры — нули.

Так вот, если первые цифры образуют степень двойки, то есть дают 2k2^k для некоторого kk, то числитель и знаменатель нужно умножить на 5k5^k, а если они дают 5k5^k, то числитель и знаменатель нужно умножить на 2k2^k.

Например, пусть у дроби ab\frac{a}{b} знаменатель b=1600b=1600. Отбрасываем нули. Первые цифры образуют число 1616, то есть 242^4. Тогда для того, чтобы преобразовать дробь в десятичную, нужно умножить числитель и знаменатель на 54=6255^4=625. Если знаменатель b=250b=250, то нужно умножить числитель и знаменатель на 22=42^2=4, поскольку 25=5225=5^2.

А теперь представьте дроби в виде десятичных самостоятельно. Не забудьте при необходимости сначала сократить исходные дроби.

Переведите дробь 2580\frac{25}{80} в десятичную.

Переведите дробь 1785\frac{17}{85} в десятичную.

Переведите дробь 243120\frac{243}{120} в десятичную.

Еще теория и задача по теме #дроби

  • Понравилось?