Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Обычно вершины обозначают так, что ABC...ABC... — это вершины основания, A1B1C1...A_1B_1C_1... — вершины второго основания, а AA1AA_1, BB1BB_1, ... — это боковые ребра.

Все боковые грани призмы — параллелограммы. Основания призмы равны друг другу.

:cut Посмотреть доказательство

Любая плоскость, которая пересекает пару параллельных плоскостей, пересекает их по двум параллельным прямым. Поэтому у грани ABB1A1ABB_1A_1 обе пары противоположных сторон параллельны (AA1BB1AA_1||BB_1 по определению призмы, ABA1B1AB||A_1B_1, поскольку эти прямые получаются при пересечении плоскостей оснований с плоскостью грани ABB1A1ABB_1A_1). Аналогично все остальные грани призмы являются параллелограммами.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Значит боковые ребра не только параллельны, но и равны друг другу. Тогда вектора AA1\vec{AA_1}, BB1\vec{BB_1}, ... равны друг другу.

Если рассмотреть параллельный перенос на вектор AA1\vec{AA_1}, то вершина AA перейдет в A1A_1, BB перейдет в B1B_1 и т.д. То есть одно основание перейдет во второе основание. А это значит, что основания равны.

Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром к плоскостям, в которых лежат основания призмы.

Объем призмы можно найти по формуле: V=ShV=Sh, где hh — высота, а SS — площадь основания.

Если боковое ребро образует с плоскостью угол α\alpha, то высоту можно найти по формуле: h=asinαh=a\sin\alpha, где aa — длина бокового ребра. Это следует из соотношения между гипотенузой и катетом в прямоугольном треугольнике (аа — гипотенуза, hh — это катет, а α\alpha — противолежащий угол).

Поверхность призмы складывается из боковых граней и двух оснований.

Легче всего искать площадь боковой поверхности и объем, когда боковые ребра перпендикулярны основанию, поскольку у такой призмы боковые ребра равны высоте призмы, а все боковые грани являются прямоугольниками.

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основанию, называется прямой призмой.

Объем прямой призмы равен 100100, а площадь основания — 1010. Чему равно боковое ребро?

Легко убедиться, что выполняется следующая теорема.

Если hh — боковое ребро прямой призмы, то все грани — это прямоугольники, у которых две параллельные стороны равны hh, а две другие стороны — это стороны основания.

Из этой теоремы следует, что площадь боковой поверхности равна Sбок=PhS_{бок}=Ph, где PP — периметр основания.

Частный случай прямой призмы — это правильная призма.

Правильной призмой называется прямая призма, у которой основание — правильный многоугольник.

У правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники. Площадь ее боковой поверхности равна Sбок=nhaS_{бок}=nha, где aa — ребро основания, hh — это высота призмы (она же боковое ребро призмы), а nn — количество вершин основания.

Найдите сторону основания призмы, если площадь боковой поверхности равна 1212, высота 22, а в основании лежит правильный шестиугольник.

Чтобы уверенно решать задачи c правильной призмой, необходимо знать (или уметь выводить) соотношения различных элементов правильных многоугольников, в особенности правильного треугольника и шестиугольника.

Например, полезно знать, что площадь правильного треугольника со стороной aa равна 34a2\frac{\sqrt{3}}{4} a^2, а правильного шестиугольника — 634a2=332a26\cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2=\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 (поскольку он разбивается на 66 правильных треугольников со стороной aa).

Расстояние между точками на разных основаниях прямой призмы можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Например, диагональ призмы AC1=AC2+CC12AC_1=\sqrt{AC^2+CC_1^2} из прямоугольного треугольника ACC1\bigtriangleup ACC_1.

В прямой шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 высота равна 33, а боковое ребро равно 22. Чему равен отрезок AD1AD_1?

Важный частный случай призмы – параллелепипед. О нем можно прочитать здесь.

Задачи для самостоятельного решения: #призма

  • Понравилось?