Проектирование векторов на оси

Нахождение проекций векторов — самое частое, что делают с векторами. Почему? Потому что так с ними намного удобнее работать. Что такое проекция вектора на ось? По-простому — это "тень", которую отбрасывает вектор на ось.

Найти проекцию вектора на некоторую ось очень просто:

  • надо опустить перпендикуляры из начала и из конца вектора на ось, получив координаты начала и конца вектора;
  • надо из координаты конца вектора вычесть координату начала вектора.

Все. Очень просто. Проекция вектора на ось может быть положительной, отрицательной и нулевой. Проекция вектора a\vec{a} из предыдущей картинки положительна — потому что координата конца больше, чем координата начала.

У вектора b\vec{b} проекция на ось OXOX отрицательна. Вектор b\vec{b} как бы направлен противоположно оси.

У вектора c\vec{c} координата конца совпадает с координатой начала. Поэтому проекция вектора c\vec{c} равна нулю. Всегда, когда вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось равна нулю.

На рисунке показано перемещение материальной точки.

Найдите проекцию вектора перемещения на ось ОХОХ.

Теперь найдите проекцию того же вектора перемещения на ось OYOY.

Проектирование вектора на ось, когда задан угол между вектором и осью

Очень часто (а вернее — почти всегда) бывает так, что задан угол между вектором и осью, а также длина вектора, а на оси нет никаких обозначений координат. Тогда проекцию вектора ищут с помощью косинуса или синуса. Рассмотрим все на конкретном примере.

Пусть у нас есть вектор a\vec{a}.

Из его начала проведем нужные нам оси XX и YY, на которые будем проектировать наш вектор.

Из конца вектора опускаем перпендикуляры на оси XX и YY.

Получается прямоугольник. Стороны этого прямоугольника и есть проекции вектора a\vec{a}: axa_{x} и aya_{y}

Видно, что у нас получился прямоугольный треугольник.

Его стороны как раз проекции нашего вектора. Наверняка вы помните (а тем, кто не помнит, я напоминаю), что в прямоугольном треугольнике

cosα=прилежащий катетгипотенуза\cos \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}

sinα=противолежащий катетгипотенуза\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.

В нашем треугольнике то же самое:

cosα=axa\cos \alpha=\frac{a_{x}}{a}

sinα=aya\sin \alpha = \frac{a_{y}}{a}.

Или:

ax=acosαa_{x}=a\cdot \cos \alpha;

ay=asinαa_{y}=a\cdot \sin \alpha.

Итак:

Проекция на прилежащую ось — это умножение на косинус.
Проекция на противолежащую ось — это умножение на синус.

Мальчик бросил камень со скоростью V\vec{V} под углом α\alpha к горизонту.

Чему равна проекция скорости на горизонтальную ось (ось XX)?

Составьте правильную формулу.

В той же задаче чему равна проекция скорости на вертикальную ось (ось YY)?

Составьте правильную формулу.

На шарик действует сила F\vec{F}.

Найдите ее проекцию на ось XX.

Составьте правильную формулу.

В той же задаче чему равна проекция силы F\vec{F} на ось YY?

Составьте правильную формулу.

  • Понравилось?
    +12
  • 4