Простейшие тригонометрические уравнения — это уравнения вида sinx=a\sin x=a, cosx=a\cos x=a, tgx=a\text{tg} x=a и ctgx=a\text{ctg} x=a.

Уравнения для синуса и косинуса имеют решения только при a1|a|\le 1. Для тангенса и котангенса — при любых aa.

Если существует хотя бы одно решение, то их бесконечно много.

Общий вид решения:

  • sinx=a[x=arcsina+2πk,x=πarcsina+2πk,\sin x=a \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, \left[\begin{array}{lr} x=\text{arcsin} a+2\pi k,\\ x=\pi -\text{arcsin} a+2\pi k,\end{array}\right.
  • cosx=ax=±arccosa+2πk\cos x=a \,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, x=\pm \text{arccos} a+2\pi k;
  • tgx=ax=arctga+πk\text{tg} x=a\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, x=\text{arctg} a+\pi k;
  • ctgx=ax=arcctga+πk\text{ctg} x=a\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\, x=\text{arcctg} a+\pi k.

При каждом значении k=0,±1,±2,...k=0,\pm 1,\pm 2,... получается одно из решений уравнения.

arcsina\text{arcsin} a, arccosa\text{arccos} a, arctga\text{arctg} a, arcctga\text{arcctg} aобратные тригонометрические функции.

На рисунке показаны решения уравнения sinx=a\sin x=a и cosx=b\cos x=b (xx обозначает точку на окружности):

Как решать простейшие тригонометрические уравнения

О чем задача?

В задании 5 вам могут встретиться простейшие уравнения с тригонометрическими функциями. Эти уравнения записываются в виде f(kx+b)=af(kx+b)=a, где ff — одна из функций sin\sin, cos\cos, tg\text{tg}.

Найдите корень уравнения tgπ(x6)3=13\text{tg} \frac{\pi (x-6)}{3}=\frac{1}{\sqrt 3}. В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Как решать?

Все такие задачи решаются по одной схеме.

Шаг 1. Найдите угол α\alpha, для которого f(α)=af(\alpha )=a.

  • Замените выражение в тригонометрической функции на α\alpha.
  • Найдите хотя бы один угол α\alpha, для которого верно уравнение f(α)=af(\alpha )=a (подойдет один из углов 00, π6\frac{\pi }{6}, π4\frac{\pi }{4}, π3\frac{\pi }{3}, π2\frac{\pi }{2}, π\pi).

В уравнении tgπ(x6)6=13\text{tg}\frac{\pi (x-6)}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}} сначала найдем α\alpha, такое что tgα=13\text{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}. Уравнению удовлетворяет α=π6\alpha =\frac{\pi }{6}.

Шаг 2. Найдите общее решение уравнения f(α)=af(\alpha )=a

  • для тангенса серия решений имеет вид α+πk\alpha +\pi k, где kk — целое число;
  • для косинуса: α+2πk\alpha +2\pi k и α+2πk-\alpha +2\pi k, где kk — целое число;
  • для синуса: α+2πk\alpha + 2\pi k и (πα)+2πk(\pi -\alpha )+2\pi k, где kk — целое число.

tgα=13\text{tg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} при α=π6+πk\alpha =\frac{\pi }{6}+\pi k, где k=0,±1,±2,....k=0,\pm 1, \pm 2,....

Шаг 3. Найдите все xx, удовлетворяющие уравнению

  • Замените α\alpha на выражение из условия;
  • Найдите все возможные xx, удовлетворяющие уравнению.

α=π(x6)6=π6+πk\alpha =\frac{\pi (x-6)}{6}=\frac{\pi }{6}+\pi k. Разделим обе части на π\pi и умножим на 66. Получим x6=1+6k,x-6=1+6k{,}
откуда x=7+6kx=7+6k, где k=0,±1,±2,...k=0,\pm 1, \pm 2,....

Шаг 4. Найдите xx, о котором спрашивается в условии

Нам надо найти наибольшее отрицательное значение xx. Значения x=7+6kx=7+6k отрицательны, если 7+6k<0k<76k<116.7+6k<0 \,\Leftrightarrow \,k<-\frac{7}{6}\,\Leftrightarrow \,k<-1\frac{1}{6}{.} Поскольку kk — целое число, наибольшее такое kk — это k=2k=-2. Поэтому наибольшее отрицательное значение в серии 7+6k7+6k достигается при k=2k=-2 и равно 5-5.

Чтобы не решать неравенство относительно kk, можно вычислить значение xx при разных kk и выбрать наибольшее отрицательное значение:
\,\,При k=1k=1 имеем x=13x=13
\,\,При k=0k=0 имеем x=7x=7
\,\,При k=1k=-1 имеем x=1x=1
\,\,При k=2k=-2 имеем x=5x=-5
\,\,При k=3k=-3 имеем x=11x=-11
При дальнейшем уменьшении kk значение xx также будет уменьшаться. Наибольшее отрицательное значение xx — это x=5x=-5.

  • Понравилось?
    +1